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畢達哥拉斯定理計算器

使用 a²+b²=c² 來計算直角三角形的斜邊或直角邊

隱私權：你的檔案不會離開裝置，所有處理均在瀏覽器本機完成。

使用方式

  1. 1.選擇是計算斜邊（由兩條直角邊）還是計算缺失的直角邊（由斜邊與一條直角邊）。
  2. 2.輸入你已經知道的兩條長度至輸入框中。
  3. 3.立即讀取缺失的邊長，以及面積、周長與兩個銳角。

關於畢達哥拉斯定理計算器

畢達哥拉斯定理是幾何學中最古老且最實用的規則之一。它指出，在任何直角三角形——即一個包含一個 90° 角的三角形——中，斜邊的平方等於另外兩條邊的平方和：a² + b² = c²。其中 a 和 b 是相交於直角的兩條直角邊，c 則是斜邊，即對應直角的最長邊。此畢達哥拉斯定理計算器讓你輸入已知的邊長，並立即解出未知的邊長。

公式 a² + b² = c² 只適用於直角三角形，而這個單一條件正是其強大之處。它將三條邊緊密連結在一起，只要知道其中任意兩條，就能確定第三條。若已知兩條直角邊，則斜邊為 c = √(a² + b²)；若已知斜邊和一條直角邊，則另一條直角邊為 b = √(c² − a²)。由於斜邊總是長於兩條直角邊，因此 c 必須大於任一邊——此直角三角形計算器會自動驗證此條件，並在斜邊短於直角邊時標記為不可能的輸入。

此工具不僅僅返回一條邊的結果。一旦三條邊長皆已知，也會同時提供面積（½ · a · b）、周長（a + b + c）以及兩個銳角，這些角度透過反正切函式計算，且總和恆為 90°。每一個結果都會在你改變輸入值的瞬間即時更新，讓你可以實驗不同數值，並在即時觀察三角形的反應。數值會四捨五入至可讀的小數位數，同時保留足夠精確度以驗證正確的三元組，且運算過程以公式形式顯示，例如 c = √(a² + b²)，讓你能跟進每一步，而不是完全信任黑箱。這讓它成為一個快速的直角三角形求解工具，適用於作業、草圖設計以及日常測量，不僅僅是計算斜邊的工具。

有些邊長組合非常整齊，值得記住。經典的 3-4-5 三角形符合 3² + 4² = 5²（9 + 16 = 25），它的任何倍數——例如 6-8-10、9-12-15——也都是直角三角形。其他知名的畢氏三元數還包括 5-12-13 與 8-15-17。看到這些組合得到精確結果，是確認計算器運作正常的好方法；它們也經常出現在課本與實際建築作業中。

現實世界中的應用無處不在。建築師使用此定理來驗證牆面是否垂直，並確認角落確實為直角。導航員與測量師則利用它將南北向與東西向的距離轉換為直線距離。這也是電視或顯示器「尺寸」——對角線——能從寬度和高度計算出來的原因，同時也是座標幾何與遊戲開發中距離公式的基本原理。請在上方輸入已知的長度，以找出缺失的邊、面積、周長以及角度，所有運算皆在你的瀏覽器中私密完成，不會上傳任何內容。

常見問題

什麼是畢達哥拉斯定理？
畢達哥拉斯定理指出，在一個直角三角形中，斜邊的平方等於另外兩條邊的平方和：a² + b² = c²。其中 a 和 b 是形成直角的兩條直角邊，c 則是對應該直角的斜邊。此定理最早由歐幾裡得在《幾何原本》第一卷第 47 節中記載。
我該如何計算斜邊？
將兩條直角邊平方後相加，再開平方根：c = √(a² + b²)。例如，當兩條直角邊為 3 與 4 時，斜邊為 √(9 + 16) = √25 = 5。選擇「計算斜邊」，輸入兩條直角邊，計算器將立即完成此運算。
我該如何計算缺失的直角邊？
將公式重新整理為 b = √(c² − a²)：先將斜邊平方，減去已知直角邊的平方，再開平方根。若斜邊為 13、直角邊為 5，則另一條直角邊為 √(169 − 25) = √144 = 12。斜邊必須長於直角邊，否則不存在直角三角形。
畢達哥拉斯定理適用於非直角三角形嗎？
不。a² + b² = c² 只適用於直角三角形，即僅含一個 90° 角的三角形。對於其他三角形，則需使用餘弦定理，c² = a² + b² − 2ab·cos(C)，當角 C 為 90° 時，cos(C) 為 0，此式便退化為畢達哥拉斯定理。
什麼是 3-4-5 三角形？
3-4-5 三角形是三邊比例為 3:4:5 的直角三角形，因為 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。它是最簡單的畢氏三元數，任何倍數（例如 6-8-10 或 9-12-15）也同樣是直角三角形。建築人員會用它標示精準的直角。

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