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Lizely

佇列理論計算器

根據到達率 λ 與服務率 μ 計算標準穩態 M/M/1 佇列的利用率、佇列長度、系統人口、等待時間與總時間，結果旁邊會顯示相關假設。

隱私權：你的檔案不會離開裝置，所有處理均在瀏覽器本機完成。

使用方式

  1. 1.輸入正值的到達率 λ 與服務率 μ，且單位必須一致。
  2. 2.確認 μ 大於 λ，且泊松到達、指數服務、單一 FIFO 服務員與穩態為合理的假設。
  3. 3.計算並檢視利用率、Lq、L、Wq 與 W，然後複製這些指標及其單位解釋。

關於佇列理論計算器

佇列理論計算器根據到達率 λ 與服務率 μ 來評估標準穩態 M/M/1 模型。請輸入兩者在同一時間單位下的值。頁面會顯示利用率、平均等待人數、系統內平均人數、平均佇列等待時間與平均總時間。結果會儲存在瀏覽器中，可複製用於工作表或容量討論。

M/M/1 是 Kendall 記號中特定排隊系統的表示法。第一個 M 表示馬可夫到達過程，通常被建模為泊松過程，具有獨立指數分佈的到達間隔時間。第二個 M 表示獨立指數分佈的服務時間。1 表示只有一個服務員。本頁假設採用先到先服務 (FIFO)、無限呼叫人口、無限等待容量以及穩定長期運作狀態。這些假設是必要的，並非裝飾性標籤。

只有當服務率大於到達率時，才會存在穩態。利用率為 ρ = λ/μ，閒置機率為 1−ρ。系統內平均人數為 L = λ/(μ−λ)；等待佇列平均人數為 Lq = λ²/[μ(μ−λ)]。平均總時間為 W = 1/(μ−λ)，平均佇列等待時間為 Wq = λ/[μ(μ−λ)]。此實現也數值驗證了 Little 法則：L = λW 與 Lq = λWq。

時間單位與速率一致。若 λ 與 μ 均為每小時，則 W 與 Wq 為小時；若皆為每分鐘，則時間單位為分鐘。若混合使用每小時到達與每分鐘服務，即使輸入皆為有效數值，結果也無意義。請將兩者轉換為同一單位再計算，並保留足夠精確度以反映實際運作狀況，而非僅為四捨五入的目標值。

當接近容量時，系統的增長趨勢是此模型的特徵。當 λ=9、μ=10 時，利用率為 90%，但系統平均人口為 9，平均總時間為一個完整速率時間單位。當 λ 從下方接近 μ 時，分母縮小，預期等待時間無限增長。本頁面拒絕 λ 大於或等於 μ 的輸入，以避免顯示不穩定佇列的虛假有限結果。

實際系統常違反 M/M/1 的假設。到達可能為預定或突發性；服務時間可能近似恆定、尾部較重或取決於請求型別；可能有數個服務員、有限容量、優先順序類別、放棄、休假、批次處理或每小時速率變化。這些情況下，M/D/1、M/G/1、M/M/c、有限容量模型、模擬或觀察分位數分析可能更合適。平均值無法描述尾部延遲或服務水準風險。

八種獨立推導的理性案例涵蓋從 25% 到 90% 的利用率、分數速率以及接近飽和的行為。所有五項顯示指標與兩個 Little 法則的等式均會交叉驗證，邊界測試會拒絕零與不穩定速率。輸入值避免數值下溢，並設上限以確保浮點結果為有限且可理解。

此計算器可作為教學參考、單服務員容量基準或與教科書題目對照之用。請勿單獨使用此工具來做安全、人力配置、醫療分流、客戶服務或基礎設施決策。首先應以實際觀察資料驗證到達與服務的分佈，選擇合適的佇列模型，檢視變異性與分位數，並評估錯誤的後果。

方法與來源

驗證單位一致的速率範圍為 1e-12 至 1e12，且滿足 0 < lambda < mu，然後計算穩態 M/M/1 的方程式：rho=lambda/mu、L=lambda/(mu-lambda)、Lq=lambda^2/[mu(mu-lambda)]、W=1/(mu-lambda) 與 Wq=lambda/[mu(mu-lambda)]。拒絕不穩定或無限結果，並交叉驗證 Little 法則。

常見問題

為何服務率必須大於到達率？
若 μ 不大於 λ，則無限容量的 M/M/1 模型將無穩態佇列；預期的擁擠程度將無限增長。
W 與 Wq 的單位是什麼？
它們使用共同速率單位的倒數：每小時的速率會產生小時，每分鐘的速率會產生分鐘。
80% 的利用率意味著 80% 的等待時間嗎？
不。利用率是服務員忙碌的比例；當 λ 接近 μ 時，等待時間會非線性增長。
此模型能處理多個服務員嗎？
不能。M/M/1 模型僅有一個服務員；多服務員系統需使用 M/M/c 或其他合適模型。

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