複利是指以初始本金加上先前每一期已累積的利息為基礎計算利息,因此產生利息的基礎會隨時間增長。標準公式為 A = P(1 + r/n)^(nt),其中 A 為最終金額,P 為起始本金,r 為以小數表示的年利率,n 為每年複利計算的次數(年複利為 1、月複利為 12、日複利為 365),t 為以年為單位的時間,而 A − P 即為累計獲得的複利總額。由於指數將 n 與 t 相乘,利率、計算頻率或年數的些微增加,都會使最終金額明顯放大,這正是複利常被描述為「利息生利息」的原因。同一公式適用於儲蓄帳戶、定存憑證(CD),以及許多投資產品,對任何想預估一筆資金如何成長的人而言,這都是最實用的單一方程。
如果你想跳過公式、直接看答案,可以使用 複利計算機 來代勞:輸入本金、利率、複利頻率和年數,工具就會回傳最終餘額與累計利息。本指南的其餘部分會說明複利實際的運作方式,接著列出確切的輸入方式,讓你能從原始數字得到有意義的預估結果。
「複利頻率」真正改變了什麼
複利頻率——也就是利息加入餘額並開始再生利息的頻率——是最容易被低估的變數。名目年利率 5% 採年複利所產生的利息,會略少於採月複利的 5%,而月複利的 5% 又會略少於採日複利的 5%。這個差距來自 (1 + r/n) 分母中的 n:n 越大,每期適用的利率越小,但套用次數更多,而這樣的組合在數學上會比單一年複利更大。
這也是為什麼兩項以相同名目利率宣傳的產品,實際成長卻可能不同:即使標示利率相同,採日複利的儲蓄帳戶與採年複利的定存,在十年後的餘額並不相同。在比較產品時,通常要看的是 APY(年化百分率報酬),它反映的是年內複利後的實際年化利率,而非表面上所列的名目利率。
開始前你需要準備的變數
四個輸入項目幾乎涵蓋了你會遇到的所有複利計算:
- 本金 (P):你存入或投資的起始總額。
- 年利率 (r):以百分比表示的名目年利率(例如 5 代表 5%)。
- 每年複利期數 (n):年複利為 1、半年複利為 2、季複利為 4、月複利為 12、日複利為 365。
- 以年為單位的時間 (t):完整的持有期間,可使用小數年。
對大多數消費型產品而言,利率和複利頻率會清楚揭露於帳戶條款中;若是你自行建模的投資,則可任選頻率來比較情境。唯一不變的規則是前後一致:選用的利率必須與頻率互相對應,否則計算結果會混用不同慣例,而數字也將失去意義。
一步步計算複利
- 在瀏覽器中開啟 複利計算機。
- 將起始本金輸入本金欄位(例如 10,000)。
- 以百分比形式輸入年利率(例如 5 代表 5%)。
- 從下拉選單中選擇複利頻率:年、半年、季、月或日。
- 輸入你預計持有這筆存款或投資的年數。
- 在結果區查看最終金額與累計利息。
- 將頻率下拉選單切換到其他值,觀察最終金額如何變動——日複利最高,年複利最低。
- 依需要調整本金、利率或年數,結果會隨每次變動即時更新。
完整寫出的公式
若你想驗證計算機的輸出,或在信封背面做快速驗算,複利公式值得你記住一種形式:A = P(1 + r/n)^(nt)。複利本身——也就是與原始本金分開計算的收益——單純就是 A − P。實際範例:當 P = 10,000、r = 0.05、n = 12(每月)、t = 10 年時,計算為 A = 10,000 × (1 + 0.05/12)^(12 × 10)。每期利率為 0.05/12 ≈ 0.0041667,指數為 120,因此 A = 10,000 × (1.0041667)^120。這十年間獲得的複利總額就是 A 減去 10,000,也就是原始本金增加了最終金額與起始 10,000 之間的差額。
由於分數指數與重複乘法用手算容易出錯,值得用工具交叉檢查任何手算結果。即使是利率上的小筆誤(例如將 0.05 寫成 0.5),也會產生看似合理、實則嚴重失真的結果;而計算機可以完全避免這類錯誤。
不同複利頻率下結果的差異
影響的方向永遠一致:在其他條件相同下,複利頻率越高,最終金額越大。差距大小則取決於利率與時間長度。在低利率、短年期的情況下,年複利與日複利的差距很小;在較高利率、橫跨數十年的情況下,這個差距就會變得有意義。由於精確數字依你的實際輸入而定,請將下表視為定性參考,並將你的數字代入 複利計算機 以取得精確結果。
| 頻率 | 每年期數 (n) | 最終餘額的相對大小 |
|---|---|---|
| 每年 | 1 | 最小 |
| 每半年 | 2 | 略大於每年 |
| 每季 | 4 | 再大一點 |
| 每月 | 12 | 再更大 |
| 每日 | 365 | 標準選項中最大 |
表中的規律反映了財務數學中一個眾所周知的結果:當 n 增大時,(1 + r/n)^n 會逼近 e^r,這就是連續複利的理論上限。對大多數實際利率與年期而言,日複利已經非常接近這個天花板,這也是為何券商現金暫存帳戶常會主打每日複利的原因之一。
複利在現實生活中的應用
同一個公式出現在許多地方,因此值得理解其底層機制,而不該只仰賴單一產品所列的數字。儲蓄帳戶 與貨幣市場帳戶通常採日複利;定存按帳戶條款中載明的固定週期複利;長期投資報酬通常以年或季為單位建模複利以進行預估;而退休餘額則透過數十年提撥加上複利共同成長。若想深入了解定存(CD)的機制,關於計算定存複利的指南會逐一說明該產品適用的複利頻率與提前解約罰則考量。
若你在比較複利產品與定息產品(例如短期貸款或採單利計息的債券),單利計算機 在相同輸入下展示了 I = Prt 的對比。並排比較時,單利與複利的差異就像一條平直的線,與一條隨時間向上彎曲的曲線之間的落差。
取得可靠預估結果的技巧
幾個習慣能讓複利計算保持準確。首先,利率與頻率要採用同一慣例:年利率在代入括號前必須先除以 n,而指數必須使用 n × t,不能只用 t。其次,比較產品時應比較 APY 而非名目利率,如此頻率差異已直接反映在數字中。第三,在長年期下,應將任何預估僅視為參考:實際報酬會隨市場波動、可能產生稅負,手續費也會削減實際數字。計算能告訴你的是在既定假設下複利能做到什麼,而非保證某個特定未來餘額。
最後,當金額大到值得重視時,請用兩個工具或以手算搭配公式相互驗算。利率欄或指數中一個字元的誤植,就可能讓 30 年的預估產生可觀的偏差,而這正是快速檢查能抓出的典型錯誤。
常見的計算問題
有三個問題會反覆出現,與具體利率或期長無關。公式中的「n」是什麼?它代表每年將利息加入餘額並開始再生利息的次數。「t」又是什麼?它是以年為單位的持有期間;十年的月複利指數為 120,因為 n × t = 12 × 10。為什麼日複利會勝過年複利?因為利息會更快加入餘額並更快開始為自己賺取利息,而這種「利息之上的複利」效應會隨資金留在帳戶中的時間越長而越明顯。
對於要在複利成長與預估退休收入之間進行比較的投資人,退休計算機 將同一公式套用於整個職涯,並加入以提撥為基礎的建模;若想將複利與折現(同一概念反向操作)進行比較,通膨計算機 會展示固定的通膨率如何侵蝕今日的美元,使其在未來購買力縮水。
如需深入了解,請參如何正確計算折扣百分比。
如需深入了解,請參閱如何計算任何投資的通膨調整後報酬。
如需深入了解,請參閱如何以年複利計算複利(以及為何這很重要)。