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Lizely

質數生成器

產生至 N 或前 N 個質數的質數

隱私權：你的檔案不會離開裝置，所有處理均在瀏覽器本機完成。

使用方式

  1. 1.選擇一種模式：" 質數至 N" 用來列出小於等於某個上限的所有質數，或 " 前 N 個質數 " 用來取得固定數量的質數。
  2. 2.將 N 的值輸入框中，並點選「產生質數」（或按 Enter）。
  3. 3.閱讀質數清單，以及總計數、所有質數的總和與最大質數。

關於質數生成器

質數是指大於 1 的整數，且僅有兩個因數：1 和本身。前幾個質數為 2、3、5、7、11 與 13，而 2 是唯一偶數質數。此質數生成器在瀏覽器中即時生成質數清單，不會上傳任何內容，無佇列，也無伺服器限制質數數量。

這工具實際上使用埃拉託斯特尼篩法，這是列出質數的經典演算法。與逐一測試每個數字是否為質數不同，篩法從所有小於等於某個上限的整數開始，並反覆刪除每個找到的質數的倍數：首先是 2 的倍數，然後是 3 的倍數，接著是 5 的倍數，依此類推。最終存活下來的數字沒有更小的因數，因此是質數。這個過程的時間複雜度約為 O(n log log n)，這使其遠遠快於試除法，並讓工具能在極短時間內篩出數百萬個質數。

提供兩種模式。"「至 N 的質數」" 列出所有小於或等於你輸入限制的質數。"「前 N 個質數」" 則返回前 N 個質數，並依據已知的第 N 個質數上界自動計算範圍，以確保篩法能正確運作。每個結果皆提供完整質數清單、計數、所有質數總和以及最大質數，並可透過單次點選複製整個清單。

以下幾個基準值很適合用來快速檢查任何質數清單：小於 100 的質數有 25 個，不超過 30 的質數有 10 個。第 25 個質數是 97，第 100 個是 541，第 1,000 個是 7919，第 10,000 個則是 104,729。記住這些數值，就能輕鬆手動核對結果。數值越大，質數也會變得越稀疏——質數定理指出，小於 n 的質數數量約為 n 除以 n 的自然對數——但質數永遠不會用盡，雙生質數（如 11 與 13，或 17 與 19）等有趣組合也會持續出現。

質數無處不在。教師與學生會用它們進行數論課堂、因數分解練習與構建因數樹。程式設計師會將質數產生器作為測試題目，或作為雜湊表、偽隨機序列及 Project Euler 等平臺的程式挑戰的基礎。加密學則依賴大質數，例如 RSA 演算法，其安全性來自於將兩個大質數相乘後的因數分解困難性。無論你需要的是作業用的質數清單、可列印的參考表，或程式測試所需的確定性資料，此免費工具皆能即時在你的裝置上產生精確清單。

常見問題

什麼是埃拉託斯特尼篩法？
這是一種經典的演算法，用來找出小於或等於某個上限的所有質數。你從 2 開始，依次處理所有整數，並重複地將每個找到的質數的倍數標記為非質數 —— 首先處理 2 的倍數，然後是 3 的倍數，再是 5 的倍數，依此類推。從未被標記的數字就是質數。這個演算法的執行時間約為 O(n log log n)，這就是為何它能幾乎瞬間列出數百萬個質數。
小於 100 的質數有幾個？
小於 100 的質數恰好有 25 個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。相較之下，不超過 30 的質數共有 10 個。
第 1000 個質數是什麼？
第 1000 個質數是 7919。其他有用的參考點：第 100 個質數是 541，而第 10,000 個質數是 104,729。使用 "First N primes" 模式可以重現這些數值。
1 是質數嗎？
不是。質數必須恰好有兩個不同的因數：1 和本身。數字 1 只有單一因數，因此不是質數，0 也不是質數。最小的質數是 2，也是唯一偶數質數。
此工具支援的最大 N 是多少？
在「產生 N 以下的質數」模式中，可使用篩法計算至 N = 10,000,000；在「前 N 個質數」模式中，最多可要求 N = 100,000 個質數（第 100,000 個質數是 1,299,709）。為確保工具在瀏覽器中維持快速且順暢，系統會阻擋更大的數值。

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