平均偏差用來衡量資料集中每個數值偏離平均數的程度,然後再將這些距離取平均——對於從 x₁ 到 xₙ 的一串數字來說,平均絕對偏差為 MAD = (1/n) · Σ |xᵢ − mean|。計算時,首先求出資料的平均數,接著算出每個點與該平均數的絕對距離,最後再將這些距離取平均。所謂平均數就是任何一串數字的算術中心,作為衡量所有偏差的基準線。手工計算平均數很簡單——把所有數字相加再除以個數即可——但只要串列長度超過少數幾個值,或是包含負數、小數與科學記號,速度就會變慢且容易出錯。平均數計算機可在一個流程中同時處理平均數、中位數、眾數、總和、計數、最小值、最大值與全距,而且所有運算都在你的瀏覽器中完成,數字永遠不會離開你的裝置。不論你接著要執行平均絕對偏差或標準差的公式,都可以把計算機回傳的平均數當作參考基準。
平均偏差在統計學中的意義
在統計學中,「平均」幾乎都指算術平均數,而「偏差」則指任何單一數值與該平均數之間的距離。平均偏差更正式的名稱是平均絕對偏差(MAD),它透過平均這些距離的大小來摘要資料的分散程度,同時忽略每個距離是落在平均數之上或之下。它是描述變異性的方式之一,與變異數、標準差以及簡單的全距並列。
MAD 的計算分三個階段:先找出平均數,接著測量每個數值與它的絕對距離,再將總和除以個數。由於偏差採用絕對值,MAD 永遠為正數或零,且與原始資料使用相同的單位,讓結果易於解讀。MAD 越小,代表數值緊密聚集在平均數附近;MAD 越大,代表資料集更為分散。平均偏差並不等同於單獨的平均——平均是中心,偏差則是各點偏離該中心的程度。有些報告會寬鬆地使用這些詞,這也是為什麼一個能同時回傳平均數與分散程度的計算機,是釐清這些概念最乾淨的方式。
三步驟找出平均數與分散程度
取得平均數——以及與平均偏差搭配的分散資訊——最快的路徑就是把數字丟進平均數計算機。輸入時每個數值都會即時更新,所以你可以自由編輯串列,看著結果調整而無需重新載入頁面或按下提交按鈕。
- 開啟平均數計算機,並找到頁面頂部附近的輸入框。
- 輸入或貼上你的數字,以逗號、空格或換行分隔皆可——任何組合都行,並接受負數、小數與 1.2e3 這類科學記號。
- 從輸入框下方讀取平均數、中位數、眾數、總和、計數、最小值、最大值與全距,然後在需要完整摘要給報告、電子郵件或試算表時,點擊複製。
所有運算都在用戶端進行,所以大型串列能即時執行,而且你的資料會保持私密。如果輸入框中不小心混入了字詞,計算機會忽略它並標記略過了幾個項目,因此意外的標籤不會破壞結果。
平均數、中位數與眾數如何訴說不同的故事
同一個資料集的中心可以有三種不同的「平均」,每一種回答的問題略有不同。接著要計算平均偏差時,選對哪一種很重要,因為偏差永遠建立在所選中心之上。下表摘要了各個公式以及每個度量最擅長的情境。
| 度量 | 計算方式 | 最適合的情境 |
|---|---|---|
| 平均數 | 數值總和 ÷ 個數 | 對稱且無極端值的資料 |
| 中位數 | 中間值,或偶數個數時兩個中間值的平均 | 偏態資料、收入、回應時間 |
| 眾數 | 出現次數最多的值 | 最常出現的結果、類別、評分 |
| 全距 | 最大值 − 最小值 | 一眼看出總體分散程度 |
平均數使用了所有數值,因此精確但也對離群值敏感——一個特別大或特別小的值就會明顯拉動它。中位數只在意位置,因此即使出現離群值也幾乎不動;它較適合摘要像收入或房價這類偏態資料。眾數是唯一也適用於類別的平均,它強調的是最常出現的結果,而非典型數值。一個資料集可能有一個眾數、多個眾數(多峰),或在每個值都唯一時根本沒有眾數。
同時計算這三個通常是最能揭示資訊的做法。當平均數與中位數接近時,資料相當平衡;當平均數遠高於中位數時,代表少數較大的值把它往上拉,此時相對於中位數的平均偏差通常會小於相對於平均數的平均偏差。
解讀全距並辨識分散程度
平均數計算機會同時回報最小值、最大值與全距,與中心度量並列。全距就是最大值減最小值,因此這是一眼就能摘要最小值與最大值差距的方式。它是比平均偏差更粗略的分散度量,因為它忽略了中間所有的數值,但能快速指出離群值:一個全距是平均數好幾倍的資料集,通常包含值得探究的極端值。
以 2、4、4、9 這個實際例子來看。4 個值的總和為 19,所以平均數為 4.75。排序後為 2、4、4、9——兩個中間值都是 4,所以中位數是 4,眾數也是 4。最小值是 2,最大值是 9,全距是 7。將平均數代入 MAD 公式:|2 − 4.75| + |4 − 4.75| + |4 − 4.75| + |9 − 4.75| = 2.75 + 0.75 + 0.75 + 4.25 = 8.5,而 8.5 ÷ 4 = 2.125,所以此資料集的平均絕對偏差為 2.125。
這一連串計算展示了各個部分所扮演的角色:平均數是基準線,絕對距離是偏差,除以 n 則把它們轉換成平均。面對較大的資料集,把整個串列貼到工具中,就能跳過手工步驟,把公式留給解讀使用。
偏差該用中位數而非平均數的情境
如果資料集呈現偏態——任一側有長尾,或有少數極端值壓過其他數值——中位數是更誠實的中心,圍繞它計算偏差會得到更具有代表性的分散程度。收入與房價就是教科書級的例子:一位億萬富翁就能把平均數拉得遠高於大多數人的所得,而中位數則穩穩落在資料中間。相對於該中位數的偏差,能描述大部分資料的分散情形,而不會被極端值扭曲。
對於大致對稱的資料——測驗分數、等距測量、平衡樣本——平均數就是正確的中心,也是平均偏差自然的基準線。拿不定主意時,兩者都算,看一眼平均數與中位數之間的差距,選出較能代表典型值的中心。平均數計算機會同時並列顯示這三種平均,讓這個比較只需一個步驟,不必另外計算。
把計算機實際應用於真實串列
一旦掌握平均數與全距,平均偏差只是一個簡短的公式,而且它很少是報告唯一需要的數字。同一個平均數也可用於成績曲線、問卷摘要、績效評核、設備反應時間與預算平均。把一欄測驗分數貼進平均數計算機,得到的平均數可同時作為班級平均,中位數能顯示艱難考試是否把平均拉低,而全距則揭示了最高分與最低分學生之間的差距。
這個工具接受負數、小數與 1.2e3 這類科學記號,因此混合了一般成績與調整分數或加權值的串列,可以在同一個輸入框中順利處理。由於運算完全在使用者端進行,你的資料不會被上傳,讓這個工具對私人數字(個人財務、醫療數據)與公開數字(團隊指標、公共統計)同樣好用。針對每個應用情境,把平均數當作基準,全距或計算出的 MAD 當作分散指標,然後在需要同時呈現中心與資料圍繞它分散程度的任何報告中,把兩者搭配使用。
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