四色定理指出,為任意平面地圖的各個區域塗色時,最多只需要四種顏色,就能使任何兩個相鄰的區域顏色不同。在標準的地圖塗色慣例中,兩個區域只有在共同享有一段正向長度的邊界線時,才算相鄰;若僅在單一點相接,則不算相鄰。四色地圖謎題將這項陳述轉化為五個精簡且完全可稽核的關卡。每一關都是一個原創的平面相鄰圖,繪製成由線條連接、附有標籤的區域,玩家必須使用恰好等於已證明之最少數量的顏色,替每個區域塗色。一個獨立的窮舉驗證器會為每張地圖嘗試所有顏色數量從一到四的配色組合,以驗證該最少數量。整個遊戲完全在瀏覽器中執行,無需帳號,並為所有操作提供文字、符號、指標與鍵盤控制。
用淺白語言解釋四色定理
該定理最早於十九世紀提出,後來在大量電腦輔助下完成證明,相關紀錄可見於喬治亞理工學院的四色定理頁面。以日常形式來說,它指的是:任何由相連區域組成的平面地圖,都能用四種顏色塗滿,使得任何沿著真實邊界相接的兩個區域顏色不同。卡內基梅隆大學的衝突圖課程教材展示了一個區域如何成為抽象圖中的一個節點,一條邊界如何成為一條邊,用來推論塗色問題。這個遊戲採用相同的共用線段規則,因此刻意只接觸於一個點的區域不會畫線,也絕不會被視為相鄰。
由於該定理是一個上界,它告訴你四種顏色永遠足夠,並不是命令每張地圖都得用滿四種顏色。一條由四個區域構成的簡單鏈只需要兩種顏色,因為其中沒有三角形。三個區域構成的三角形則需要三種顏色,因為每個區域都與另外兩個相鄰。這個遊戲透過顯示每一關的已證明目標數量,而不是一律顯示四,來凸顯這個區別。
遊戲如何模擬區域與邊界
在四色定理遊戲中,每一關都儲存為一個附有標籤的區域清單,以及一個對稱的相鄰清單。實作會在上線前檢查每一個測試資料:每個鄰居索引必須對應到一個真實存在的區域,一個區域不能與自己相鄰,同一個鄰居不能列出兩次,而且相鄰關係必須對稱,也就是如果區域 A 列出了 B,那麼 B 也必須對等地列出 A。介面接著會為每個確認的相鄰關係繪製一條可見的線,這表示資料中重複的條目不會產生多餘的線,而遺漏的條目也不會隱藏一條真實的邊界。
這種以線為基礎的顯示方式,構成了玩家必須遵守的契約。共用一條繪製線段的兩個區域是相鄰的,必須塗上不同的顏色。只在角落相接、但沒有畫線的兩個區域並不相鄰,可以共用同一種顏色。這五個關卡繪製其圖形時都不會產生邊線交叉,其中包括四個區域完全圖的中央區域,以及六個區域輪狀圖的輪輞中心,因此原始定理所使用的平面配置得以在螢幕上完整保留。
色數:為什麼四個是上限而非目標
能正確替一個圖塗色的最少顏色數量稱為其色數,而四色定理僅說明該數量最多為四。在本遊戲中,色數被視為每一關的目標。一組得勝的配色必須恰好使用該數量的相異顏色,即使所有鄰居配對顏色都不同,使用多於此數量的顏色仍會被記為錯誤。
五個固定關卡各有不同的色數,而其結構決定了原因。下表整理了官方最少值、區域數量,以及該目標背後的結構性原因。
| 關卡 | 區域數 | 色數 | 為什麼是這個最少值 |
|---|---|---|---|
| 河流諸郡 | 4 | 2 | 由四個區域構成、無循環的鏈,因此可以交替塗色 |
| 三港 | 3 | 3 | 三角形,每個區域都與另外兩個相接 |
| 島嶼環 | 5 | 3 | 奇數的五節環,無法只用兩種顏色交替塗色 |
| 首都行政區 | 4 | 4 | 四個頂點完全圖的平面繪法 |
| 日輪諸省 | 6 | 4 | 中央區域旁接奇數的五區域輪輞,因此中央區域迫使用第四種顏色 |
這些數字並非從所顯示的明文解答推測而得。每張地圖的獨立窮舉驗證器會依序嘗試顏色數量一到四,並列舉所有可能的配色組合,在 n 個區域時最多達 4 的 n 次方種組合。只有當每個相鄰配對的值都不同時,該組配色才會被接受;而第一個能產生任何有效配色的顏色數量,會被視為真正的最少值。測試也要求每組公開的明文解答必須有效,且必須恰好使用該最少值,因此該關卡雖然可以在遊戲中過關,卻絕不會在計算上偷工減料。
如何遊玩四色地圖謎題
開啟謎題並選擇第一關。請使用鍵盤或指標進行所有操作,因為這兩種方式都能涵蓋整個遊戲。
- 點擊一個區域,或在已標籤的清單中按 Left 與 Up 向前移動、按 Right 與 Down 向後移動,以選取該區域。被選取的區域會被高亮顯示,並對輔助科技朗讀。
- 點擊四個調色盤按鈕之一,或按下數字鍵 1 至 4,即可套用顏色。每個調色盤項目都會顯示一個編號、一個名稱、一個符號(點、條紋、交叉或格線記號)以及對應的顏色,而已塗色的區域會持續顯示其字母標籤與圖樣。
- 在進行評分之前,先為所有區域塗色。不完整的配色不會改變分數或錯誤紀錄,Check map 會等待完整覆蓋後再執行。
- 確保每條線的兩個端點顏色不同。由可見線相連的兩個區域必須塗上不同的顏色,而該關卡所揭示的目標會告訴你整體應使用多少種相異顏色。
- 按下 Enter 或點擊 Check map 來評分該組配色。使用恰好等於最少調色盤數量、完整且正確的配色,可獲得 200 分。第一組相異的錯誤配色仍可編輯;第二組不同的錯誤配色會使該回合進入卡死狀態;卡死或完成時,選取、塗色、移動、重設與進一步的檢查動作都會凍結,直到按下 Restart 為止。
- 對其餘四關重複相同步驟,然後按下 Restart 即可清除所有錯誤,並回到河流諸郡關卡,區域 A 為已選取狀態,分數為零。在瀏覽器允許的情況下,最佳完成分數會儲存在本機;而完整跑完五個正確關卡的得分必定恰好為 1,000 分,因為每關恰好獲得 200 分。
如需逐關的明文解答攻略,請參考地圖塗色謎題攻略,該文與本篇以數學為重點的內容相輔相成。
塗色圖樣、符號與鍵盤可及性
每個調色盤選項都結合了編號、名稱、圖樣與顏色,使得四色定理遊戲不會僅依賴色彩視覺。四種圖樣分別為點、條紋、交叉與格線記號,而已塗色的區域會在其填色上方保留字母標籤。每個區域與顏色按鈕的長寬至少都為 44 像素,並會將其區域名稱、顏色名稱與選取狀態開放給輔助科技。無效的顏色編號、無效的區域索引、未知的移動指令,以及完成或卡死之後的任何輸入,皆為不可分割的無操作,以免一個誤觸的按鍵改變遊戲進程。
| 按鍵 | 動作 |
|---|---|
| Left, Up | 選取上一個區域 |
| Right, Down | 選取下一個區域 |
| 1, 2, 3, 4 | 套用對應編號的顏色 |
| Enter | 檢查目前的地圖 |
| X | 重設目前的地圖 |
| R | 重新開始整個回合 |
計分、錯誤與老闆鍵
每個通過驗證的關卡恰好獲得 200 分,因此五個正確關卡必定恰好達到 1,000 分。Check map 的契約相當嚴格:不完整的配色會被忽略,錯誤的配色會以該關卡與顏色序列精確記錄下來,而再次檢查未變動的組態並不會增加新的錯誤。第二組相異的錯誤配色會使回合進入卡死狀態,直到按下 Restart;Restart 會清除分數、錯誤紀錄,並將地圖重設回河流諸郡的區域 A。完成與卡死都會凍結選取、塗色、移動、重設與進一步的檢查動作。
共用的遊戲外殼也提供一個雙按 Escape 的老闆鍵。在時間窗口內連按兩次 Escape,謎題會被替換為一份類似試算表的掩護畫面;再按兩次即可返回原本的遊戲。掩護畫面會保留底層狀態,因此隱藏中的紀錄不會遺失。所有塗色、驗證、窮舉測試、計分與儲存作業都在瀏覽器本機執行,因此四色定理遊戲在頁面載入後,無需帳號、上傳付費呼叫或伺服器端的謎題評估器即可運作。
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