貸款清償計算機公式為 n = -ln(1 − B·r/P) / ln(1 + r)，其中 B 為您目前的餘額，P 為您固定的每月還款金額，r 為您的每月利率(年利率 ÷ 12)。這個單一的封閉方程式只回答一個特定問題:從您已經欠下的餘額以及您實際能負擔的還款金額出發，需要多少個月才能讓餘額歸零?不同於標準攤銷公式是在給定貸款金額與期數的情況下求出還款金額，這個版本是反過來的——您輸入還款金額，公式則求解期數，這也是它有時被稱為反向攤銷公式或 NPER 公式的原因。將三個變數代入公式，對兩個量取自然對數後相除，即可得到一個實數，您可以將其換算為月數與年數。這個公式驅動著網路上每一個貸款清償計算機，包括貸款清償計算機，它會在您變更輸入的瞬間，利用此公式回傳您精確的清償時間。
公式中每個變數所代表的意義
公式 n = -ln(1 − B·r/P) / ln(1 + r) 乍看之下很嚇人，但其實只有三個輸入。一旦您了解每個符號代表的意義，以及它在您的對帳單上從何而來，這個公式就會變得容易閱讀許多。
B —— 您目前的餘額。這是指您現在還欠的金額，而不是原始的貸款金額。請使用您最近一期對帳單上的數字，也就是已扣除任何已入帳還款後的金額。若是信用卡，那就是「本期新增餘額」或「對帳單餘額」;若是分期貸款，則為您攤銷表上所列的剩餘本金。
P —— 您固定的每月還款金額。這是指您每個月實際支付、直到餘額歸零為止的金額。為了讓公式成立，該金額必須每個月都相同。如果您有時付 $200，有時付 $350，這個封閉式公式所得到的答案只能近似於您實際的清償時間。
r —— 您的每月利率。將您的年利率 (APR) 除以 12，即可轉換為每月利率。18% 的 APR 會變成 r = 0.18 ÷ 12 = 0.015。如果您的對帳單上列出的是其他週期性的利率，請直接使用該數字。公式需要的是小數，而不是百分比。
請注意這個公式不需要的輸入:貸款期數、起算日期或原始本金。這些都是標準攤銷公式的輸入，而不是這個公式的輸入。這個公式的設計，就是只採用一個已有債務的人本來就已經知道的三個數字。
如何使用貸款清償計算機
- 在您的瀏覽器中開啟貸款清償計算機——無需安裝、不必註冊，您的數字都會保留在您的裝置上。
- 在第一個欄位輸入您目前的餘額，在第二個欄位以百分比輸入您的年利率，然後在第三個欄位輸入您實際支付的固定每月還款金額。
- 讀取以月份顯示的清償時間，旁邊會顯示「年與月」的明細，以及總利息與總支付金額。
- 提高每月還款金額或降低利率，即可看出您的時間表能縮短多少個月，以及能省下多少利息。
- 如果工具顯示您的還款金額過低，請提高金額，直到它超過第一個月的利息——公式需要還款金額超過利息，餘額才有可能歸零。
手動套用公式:實際演算範例
要實際感受公式的運作，最快的方式就是進行一次代入演算。假設您在信用卡上欠了 $5,000,APR 為 18%，而您每月能支付 $200。
步驟 1 —— 將 APR 轉換為月利率。r = 18 ÷ 100 ÷ 12 = 0.015。
步驟 2 —— 計算第一個月的利息，以確認還款金額足夠大。B × r = 5,000 × 0.015 = $75。因為 $200 大於 $75，所以還款金額可以減少本金，公式會得到一個有效的答案。
步驟 3 —— 代入公式。
n = -ln(1 − (B × r) ÷ P) ÷ ln(1 + r) = -ln(1 − (5,000 × 0.015) ÷ 200) ÷ ln(1.015) = -ln(1 − 75 ÷ 200) ÷ ln(1.015) = -ln(1 − 0.375) ÷ ln(1.015) = -ln(0.625) ÷ ln(1.015) ≈ -(-0.47000) ÷ 0.01489 ≈ 0.47000 ÷ 0.01489 ≈ 31.57 個月。
這個結果代表大約 31 次 $200 的全額還款，加上第 32 期一筆較小的尾款來結清最後幾塊錢。總支付金額約為 31.57 × $200 = $6,314，總利息約為 $6,314 − $5,000 = $1,314。把同樣的數字代入計算機，您會得到相同的清償時間，因為這個工具所解的，就是您剛才手動解的同一條方程式。
為什麼這個公式是標準攤銷的反向
標準攤銷假設您已知三項條件——貸款金額、利率與期數——然後求出每月還款金額。大多數貸款計算機所使用的公式就是 PMT 方程式:P = B × r ÷ (1 − (1 + r)−n)，這也是建立任何標準攤銷表的同一個恆等式(請參考攤銷計算機概覽)。將該方程式重新排列，改為求解 n 而非 P，即可得到 n = -ln(1 − B·r/P) ÷ ln(1 + r)。它本質上是同一套貸款數學，只是求解不同的未知數。
這就是為什麼貸款清償計算機公式在試算表軟體中有時被稱為「NPER 公式」。在 Excel 中，函數 =NPER(rate, pmt, pv) 會在固定還款金額下回傳期數，而該函數的實作方式正是同一條對數方程式。打開試算表，輸入本範例的數字，=NPER(0.015, -200, 5000) 會回傳大約 31.57——與公式和計算機的結果完全一致。若想了解試算表操作步驟的並列教學，請參考使用 Excel 的 PMT、NPER 或工具計算貸款還款金額指南。
了解到這個公式只是重新排列後，便能消除許多神秘感。您看到的並非另一個獨立的「貸款清償方程式」——而是將未知數對調後的標準攤銷公式。
特殊情況:零利率與還款金額過低
有兩種特殊情況值得單獨討論，因為它們能揭示這個公式的假設。
零利率。如果 r = 0，自然對數項會變成 ln(1)，也就是 0，此時便無法進行除法。在這個極限情況下，公式會簡化為最簡單的形式:n = B ÷ P。沒有利息，只要將餘額除以還款金額即可。貸款清償計算機會自動處理這個情況，並直接顯示結果。
還款金額等於或低於第一個月的利息。如果 P ≤ B × r，則 1 − B·r/P 這個量為零或負值，對數即未定義(或者答案會變成無限大)。這不是錯誤——這是公式在告訴您事實。如果您的還款金額只夠支付利息，本金永遠不會減少，餘額也永遠無法歸零。這正是信用卡「只繳最低應繳金額長達數十年」陷阱背後的算術:一筆 $5,000、APR 24% 的餘額，每月只繳 $100 的最低應繳金額，等於每月支付 $100 的利息，而 $5,000 的本金基本上永遠存在。計算機會以一個簡明的「還款金額過低」訊息呈現此情況，而不是顯示一個誤導性的無限大數字。
此公式與相關貸款方程式的比較
| 方程式 | 您已知的條件 | 它求解的目標 |
|---|---|---|
| PMT(標準攤銷) | 餘額、利率、期數 | 每月還款金額 |
| NPER(貸款清償公式) | 餘額、利率、每月還款金額 | 餘額歸零所需的月數 |
| FV(未來值) | 起始餘額、利率、還款金額 | n 個月後的剩餘餘額 |
每個方程式都是將同一個攤銷恆等式重新排列，以分離出不同的未知數。貸款清償計算機公式在這個家族中就是 NPER，當您已經知道自己每月能支付多少，並希望得知還清債務的日期時，它就是最合適的工具。
公式與實際帳戶會出現落差之處
就其所描述的模型而言——固定利率、固定每月還款金額、按月複利，且不再新增消費——這個公式在數學上是完全精確的。現實中的債務帳戶會放寬其中一項或多項假設，而公式與現實之間的落差會隨著放寬的程度而擴大。
信用卡通常是以日為單位計算複利，而非以月為單位，這會產生一個略高於公式所假設的有效利率。促銷期的 0% APR 會在某個特定日期到期，並恢復到高得多的標準利率，因此若在「低利率」輸入中忽略了即將到來的利率回升，實際的清償時間將會被低估。分期貸款通常與公式相當接近，因為利率與還款金額是由合約固定，但滯納金、提前還款罰款，或因逾期而產生的利率變動，都可能讓實際數字偏離公式的乾淨預測。
這些情況並不會讓公式本身變成錯誤——它讓輸入變成一種模型，而不是報價。請將貸款清償計算機作為規劃的基準，將其結果視為估算而非承諾，並在依據這些數字做出任何財務決策之前，先向您的貸款機構確認確切條件。
若想深入了解，請參考簡單利息計算機公式:完整教學。