使用 BA II Plus 計算複利時,是採用標準公式 A = P(1 + r/n)^(nt),其中 P 是您的初始本金,r 是以小數表示的年利率,n 是每年的複利期間數,t 則是年數。在 BA II Plus 上,這項計算藏在 Time Value of Money (TVM) 貨幣時間價值工作表中,您需輸入 N 代表年數、I/Y 代表年利率、PV 代表本金(在 BA II Plus 現金流慣例下需輸入為負數)、PMT 在純複利題目中通常設為 0,以及 FV 為答案。同樣的運算也可在任何瀏覽器中透過免費的 複利計算機 來執行,您可以跳過工作表模式、現金流符號慣例,以及經常讓 BA II Plus 使用者感到困擾的 P/Y 和 C/Y 設定。如果您的目的只是單純想看一筆一次性的本金在複利下如何成長,那麼線上工具能用更少的按鍵達到相同的未來值,而且只要輕輕一點就能切換複利頻率,不必每次都清除工作表。這就是為什麼許多最初在 BA II Plus 上學會複利的人,當公式本身開始變得熟悉後,會把同樣的計算搬到瀏覽器工具中。
BA II Plus 實際上在做什麼計算
BA II Plus 將複利視為其貨幣時間價值求解器的一個特例。該工作表儲存五個變數——N(期數)、I/Y(每期利率)、PV(現值)、PMT(每期付款)、FV(未來值)——並求解您留空的那一個。當您按下 CPT,計算機就會套用同一公式的重新排列版本 A = P(1 + r/n)^(nt) 來平衡方程式。將 PMT 設為 0 時,結果就是純粹的複利未來值。
有兩項次要設定決定「每期」實際的意義。P/Y 設定每年的付款次數,C/Y 設定每年的複利期間次數。對於一次性的複利題目,P/Y 可以維持在 1,因為沒有重複發生的付款;但 C/Y 決定了利息是每年計入一次、兩次、四次、十二次,還是三百六十五次。在不動到 N 和 I/Y 的情況下,把 C/Y 從 1 改成 12 再改成 365,就是 BA II Plus 用來分離複利頻率效果的工作流程——而這在線上工具中是透過下拉選單來達成。這兩條路徑背後的數學完全相同,只有輸入方式不同。
使用線上工具計算複利
瀏覽器工具只要四個輸入和一個下拉選單,就能算出相同的未來值。三個步驟即可完成計算。
- 輸入您的初始本金和年利率。
- 選擇利息複利的頻率——每年、每半年、每季、每月或每日——以及年數。
- 讀取最終金額和總共賺到的利息,並切換頻率以觀察複利效果。
每一步都在您的瀏覽器內完成,所以您的本金、利率和期數絕不會離開您的裝置。切換複利頻率選擇器是在相同名目利率下,並排觀察利息計入頻率如何影響最終餘額最簡潔的方式。
BA II Plus 如何得到相同的結果
對於想要完整 BA II Plus 按鍵流程的讀者,同樣以本金 $1,000、年名目利率 10%、每年複利、為期 5 年,可按下列步驟求解。按下 2nd 然後 FV 以清除 TVM 工作表。輸入 5 後按 N。輸入 10 後按 I/Y。輸入 1000,按 +/- 翻轉正負號,再按 PV。按 0 後按 PMT。最後按 CPT 再按 FV;螢幕顯示 -1,610.51。這個負號只是 BA II Plus 現金流慣例——未來值其實是 $1,610.51。
如果您想比較每年複利與每月或每日複利,就必須重新輸入這串按鍵,或是重設工作表。線上工具則完全跳過重設、現金流符號規則、P/Y 和 C/Y 切換,以及工作表模式;同樣的複利數學只需四個輸入和一個下拉選單即可運算。如果您需要走過公式本身,而不只是 TVM 按鍵,這項計算的直接說明收錄於逐步複利指南中。
複利頻率如何改變最終餘額
複利頻率效果正是 BA II Plus 的 C/Y 設定真正在揭露的事情,也是線上工具頻率下拉選單的重點。每當利息被計入,就會加入餘額,下一期的利息就以這個更大的餘額來計算。複利越頻繁,利息就越早開始生利息。
| 複利頻率 | 每年期數 (n) | 常見的出現場合 |
|---|---|---|
| 每年 | 1 | 部分債券和簡單的儲蓄產品 |
| 每半年 | 2 | 許多美國公債和公司債 |
| 每季 | 4 | 定存、部分貨幣市場產品 |
| 每月 | 12 | 大多數儲蓄帳戶和貨幣市場帳戶 |
| 每日 | 365 | 部分高利儲蓄帳戶 |
以同樣的本金 $1,000、年名目利率 10%、5 年期來說明其幅度。在每年複利下,公式為 A = 1000 × (1 + 0.10/1)^(1×5) = 1000 × 1.10^5 = 1000 × 1.61051 = $1,610.51,因此賺到的利息是 $1,610.51 − $1,000 = $610.51。在固定本金、利率和期數下,改為每月複利會提高最終餘額,改為每日複利則會再進一步提高——在同樣的輸入下,計算機記錄的輸出每月複利約為 $1,645.31,每日複利約為 $1,648.61。這個差距在 10% 和 5 年的條件下看起來不大,但在更高的利率、更大的金額或更長的期間下會明顯擴大,這也正是為什麼債券、定存和高利儲蓄帳戶會以 APY(有效年收益率)而非僅以名目利率來宣傳的原因。名目利率與 APY 之間的關係在任何複利參考資料中都有記載,包括 維基百科的複利條目。
這款計算機不適用的時機
這款複利計算機假設一筆初始本金在整個期間內以固定利率成長。沒有額外存款、沒有提領、沒有預扣稅額,也沒有內建任何帳戶費用,因此它最適合作為規劃工具,而非用來預測任何特定帳戶的實際報酬。實際收益率會隨市場波動,稅務處理方式也因帳戶類型和國家而異。
如果您打算在初始餘額之外,每月或每年再追加資金,那麼合適的搭配工具是 儲蓄計算機,它專為定期投入而設計,並分別顯示投入本金與利息的拆分。對於固定金額的分期付款貸款,請使用專門的貸款清償或攤銷工具——僅對本金計算複利而不做攤銷,會低估實際的借貸成本。對於不計複利的單利,簡單利息計算機可提供清楚的並排比較。這些工具都無法取代您銀行揭露文件中的具體條款,也無法取代持照財務專業人士的建議。
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