畢氏定理（又稱勾股定理）指出，在任何直角三角形——也就是有一個 90° 角的三角形——中，斜邊的平方等於另外兩邊的平方和：a² + b² = c²。其中 a 和 b 是相交於直角的那兩股，而 c 是斜邊，也就是位於該直角對面、最長的那一邊。這個關係式是幾何學中最古老也最實用的規則之一，它把三角形的三條邊緊密地連結在一起，只要知道其中兩條，就能確定第三條。如果你知道兩股，斜邊就是 c = √(a² + b²)。如果你知道斜邊和其中一股，缺少的那一股就是 b = √(c² − a²)。因為斜邊永遠是最長的一邊，c 必須大於任一股，否則就不可能構成直角三角形。對於整數組合，這個數學算式簡單到可以手算；對於其他任意長度組合，則可以使用免費的畢氏定理計算機，一次完成算術、面積、周長和角度的計算。
畢氏定理的真正含義
畢氏定理是一個單一的方程式：a² + b² = c²。字母不一定非得是 a、b 和 c——直角三角形的任意兩股和斜邊都會滿足這個關係。兩股共享那個直角，而第三邊（斜邊）從一股延伸到另一股，永遠是最長的。
這條規則最早就是這樣被記錄下來的。歐幾里得將其記載為《幾何原本》第一卷命題 47，建立在更早期、歸功於畢達哥拉斯及其學派（西元前六世紀）的研究之上。它是數學史上最早有名字的成果之一，至今仍是幾何學、三角學和座標代數的基礎。
讓這個公式成立的唯一條件，就是那個直角。a² + b² = c² 對任何直角三角形都成立，但只對直角三角形成立。如果最大角不是 90°，這個方程式就不再適用，你需要另一條規則——餘弦定理——來描述邊長之間的關係。話雖如此，當角度恰好為 90° 時，餘弦定理會化簡回畢氏定理，因為 cos(90°) 等於 0。
什麼時候會實際用到畢氏定理
只要實際問題中藏著一個直角，這個定理就派得上用場。建築工人利用它來校正牆面，以及在一塊水泥板上沿一邊量取三個單位、沿另一邊量取四個單位，再檢查對角線是否恰好為五個單位，來標出真正的 90° 角。測量員用它把南北向和東西向的距離合併成地面上的一條直線距離。任何矩形的對角線——從一張合板到電視螢幕——都直接來自同一個公式，這也是為什麼一台 55 吋的電視所標示的寬度和高度也滿足 a² + b² = 55²。
它同時也是座標幾何中距離公式的基礎。兩點 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之間的直線距離為 √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)，這其實就是換了個面貌的 a² + b² = c²。遊戲開發者在遊戲物件需要知道沿著格線的距離時，也依賴同一個恆等式；航海員則用它把方位和距離換算成地圖上的位置。
如何求出直角三角形缺少的一邊
最快的應用方式是使用專門設計的計算機，而不是紙筆計算。畢氏定理計算機接受你已經知道的任意兩邊，並求出第三邊。以下是完整的操作步驟。
- 先選擇你需要的是斜邊還是一股。當你已知兩股並想求 c 時，選擇「求斜邊」；當你已知斜邊和其中一股、想求另一股時，選擇求股的選項。
- 把你已知的兩個長度輸入對應的輸入框。單位可以隨意選用，但兩邊必須使用同一單位——英呎配英呎、公尺配公尺、英吋配英吋——否則答案會在不知不覺中混合單位。
- 結果一出現就讀取缺少的那一邊。每次你更改輸入，結果都會即時更新，所以你可以嘗試不同的數值，即時觀察三角形的變化。
- 檢查答案下方的額外資訊。計算機還會回報面積（½ · a · b）、周長（a + b + c）以及兩個銳角，這些角度是利用反正切函數算出來的，而且兩個角度相加必定等於 90°。
- 查看答案旁顯示的公式列。運算過程會以類似 c = √(a² + b²) 的方式呈現，讓你能逐步查看，而不是只能盲目相信一個黑盒子；數字會四捨五入到易於閱讀的小數位數，同時仍維持足夠的精度來驗證整數畢氏三元組。
你可以在畢氏定理計算機開啟這個工具，並用手上有的任意兩邊來試試看。
值得背起來的畢氏三元組
有些邊長組合特別簡潔，值得記在腦中。因為 3² + 4² = 5²（9 + 16 = 25），所以 3-4-5 三元組的任何整數倍數也是直角三角形。其他幾個小整數三元組也是如此，它們在教科書和工地現場反覆出現。下表列出最常見的幾組，它們都是著名的畢氏三元組，你可以一眼驗算其關係。
| 三元組 | 恆等式 | 放大後的例子 |
|---|---|---|
| 3-4-5 | 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² | 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 |
| 5-12-13 | 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² | 10-24-26, 15-36-39 |
| 8-15-17 | 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² | 16-30-34, 24-45-51 |
| 7-24-25 | 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² | 14-48-50, 21-72-75 |
| 9-40-41 | 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² | 18-80-82 |
當你把這三個數字輸入計算機時看到結果完全吻合，是快速確認工具運作正確的好辦法；這些三元組在幾何作業和實際工地現場都反覆出現。
以 3-4-5 三角形為例的解題過程
假設一位建築工人在檢查一個轉角是否方正，沿一面牆量得 3 英呎，沿另一面牆量得 4 英呎。如果這個角真的是直角，那麼對角線應該是多少？
從斜邊的公式開始：c = √(a² + b²)。代入 a = 3、b = 4：
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
對角線應該恰好是 5 英呎。如果測量結果相符，代表這個角是方正的。同一個三角形的面積為 ½ · a · b = ½ · 3 · 4 = 6 平方英呎，周長為 a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 英呎。兩個銳角的數值分別是 atan(3/4) ≈ 36.87° 和 atan(4/3) ≈ 53.13°，兩者相加為 90°，符合預期。畢氏定理計算機會一次把所有這些結果一併回傳，省去手動計算。
公式的限制與常見陷阱
畢氏定理有一個嚴格的前提：三角形必須是直角三角形。如果最大角不是 90°，a² + b² = c² 就不再成立，你需要改用餘弦定理：c² = a² + b² − 2ab · cos(C)。當角 C 為 90° 時，cos(C) 為 0，餘弦定理就化簡回畢氏定理，所以兩者其實是一致的，並不互相牴觸。
因為斜邊永遠是最長的一邊，任何輸入若會讓 c 比其中一股還短都是不可能的——沒有直角三角形會有這樣的尺寸。畢氏定理計算機會替你檢查這一點，並標記出斜邊會短於一股的輸入，讓你立刻知道這些數字根本不能描述一個真實的三角形，而不是默默產生一個錯誤的結果。
第二個陷阱是單位混用。如果你一邊輸入英呎、另一邊輸入英吋，結果會是一個混合單位的平方，幾何運算會在不知不覺中給出錯誤答案。兩股（以及求股時的斜邊）請使用同一單位，之後再視需要進行單位換算。
想要在同一個畫面中一次取得缺少的一邊、面積、周長和兩個銳角，畢氏定理計算機會在你的瀏覽器本地完成所有計算，不會上傳任何資料，並顯示公式列讓你能逐步查看每一個步驟。