畢氏定理指出，在任何直角三角形中，斜邊的平方等於兩條較短股的平方和，寫成 a² + b² = c²。 若要求直角三角形的未知邊，可將這個單一方程重新整理——當你知道兩股時為 c = √(a² + b²)，當你知道斜邊和一股時為 b = √(c² − a²)——再代入你已知的兩個邊長。 不用紙筆最快的方法，是使用專門的畢氏定理計算機，它可接受你已知的任意兩邊，解出第三邊，並顯示所用的公式。 因為畢氏定理將三邊緊密連結，知道其中任意兩邊，就足以確定第三邊。 同一概念也構成座標幾何中的距離公式、電視或螢幕的對角線，以及測量員將方格座標轉為直線距離的方式。 一旦理解 a² + b² = c² 是你唯一需要的關係，每個直角三角形問題就化為一個簡短的計算。
用白話說明的公式
這個定理比代數的歷史更悠久，至今仍比幾乎任何其他幾何恆等式更有用處。 在任何具有一個 90° 角的三角形——也就是「直角」三角形——中，對著直角的邊稱為斜邊，記為 c。 在直角處相交的兩條邊稱為股，分別記為 a 和 b。 其關係就只是 a² + b² = c²：分別將兩股平方、相加，其總和等於斜邊的平方。
由此直接衍生三個結論：
- 知道任意兩邊，即可確定第三邊。 代入兩個值，唯一能讓等式成立的長度就是未知邊。
- 斜邊永遠是最長的邊。 因為兩股對 c² 都有正的貢獻，c 必然大於任一股。 計算機會檢查這點，並在你輸入的斜邊短於一股時提出警示，因為這樣的三角形不可能存在。
- 這個公式只適用於直角三角形。 如果 a 和 b 之間的角不是 90°，平方就不再以相同方式相加。 這種情況需要使用餘弦定理。
這一套規則就是畢氏定理背後的全部內容。 計算機所做的每一件事——包括面積、周長和角度——都建立在上述三個事實之上。
如何使用畢氏定理計算機
依據你已知的兩邊，選擇對應的路徑。 每個輸入欄會在你輸入完成的瞬間更新所有輸出，因此你可以自由嘗試。
- 選擇你要解的項目。 若你已知兩股，選擇「求斜邊」；若你已知斜邊與一股，則選擇「求未知股」。
- 將你已知的兩個邊長輸入輸入欄中。 計算機保留足夠的精度，可驗證精確的整數三元組。
- 讀取未知邊，連同面積、周長以及兩個銳角。 每個結果都與產生它的公式並列顯示，讓你能清楚看到答案是如何得到的。
這裡無需送出，也沒有按鈕要按——輸出會在你輸入時即時更新。 因為整個運算都在你的瀏覽器中進行，你的數字永遠不會被上傳到任何地方。
範例：一個 3-4-5 三角形
最簡單的測試案例同時也是最著名的案例。 兩股為 3 與 4 的三角形，其斜邊已知為 5，這是因為 3² + 4² = 9 + 16 = 25，而 √25 = 5。 為了驗證計算機：
- 選擇求斜邊。
- 在 leg a 輸入 3，leg b 輸入 4。
- 讀取 c = 5.000、面積 = 6、周長 = 12，以及銳角 36.87° 與 53.13°，兩者相加恰好為 90°。
這些數字都與手算結果一致。 由股 a = 3 和 b = 4，可得面積為 ½ · 3 · 4 = 6。 周長為 3 + 4 + 5 = 12。 對股 a 的角度為 arctan(3/4) ≈ 36.87°，對股 b 的角度為 arctan(4/3) ≈ 53.13°。 看到計算機回傳這些數值，就是你能做的最快驗算。
值得背下來的畢氏三元組
某些整數三元組能精確滿足 a² + b² = c²，無需任何進位。 看到就能辨認，讓你只需幾秒就能驗證任何答案。
| 三元組 (a, b, c) | a² | b² | c² |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 | 16 | 25 |
| 5, 12, 13 | 25 | 144 | 169 |
| 8, 15, 17 | 64 | 225 | 289 |
| 7, 24, 25 | 49 | 576 | 625 |
| 9, 40, 41 | 81 | 1600 | 1681 |
任何三元組的倍數同樣有效。 3-4-5 族還包含 6-8-10、9-12-15、12-16-20 等等。 建築工人經常使用 3-4-5 的倍數來規劃直角：沿一面牆量 3 單位、沿另一面量 4 單位，兩標記點之間的對角線應該是 5。
計算機還會計算哪些項目
一旦三邊已知，三角形的其餘資訊便能輕鬆得出。 畢氏定理計算機可從相同的兩個輸入，回報下列每一項：
- 面積。 ½ · a · b，這是標準的直角三角形面積公式。
- 周長。 a + b + c，由於三邊都已解出。
- 兩個銳角。 以反正切計算——通常是 arctan(a/b) 與 arctan(b/a)——其和必恰好為 90°。
每當輸入改變，所有數字都會立即更新，方便你即時觀察三角形的變化。
公式適用與不適用的情況
方程式 a² + b² = c² 只有在 a 和 b 是直角三角形的兩股時——也就是兩者相交於 90° 時——才完全成立。 對於任何其他三角形，請改用餘弦定理：c² = a² + b² − 2ab · cos(C)，其中 C 是邊 c 對面的角。 畢氏定理可以從餘弦定理中作為特例推得，因為 cos(90°) = 0，會自動消去多出的項，留下 a² + b² = c²。
有一項實用的檢查可避免定理給出荒謬的答案：斜邊必須永遠比任一股更長。 計算機會在「斜邊」短於一股的不合理輸入上標示出來，讓你立刻知道這樣的三角形不可能存在。
畢氏定理在現實生活中的應用
雖然這條規則源自幾何，卻在教科書之外的各種場景中不斷出現。
- 營造施工。 用來校正牆壁、地基和結構的直角。 3-4-5 法是經典的現場技術。
- 測量與導航。 將南北向與東西向的距離，轉換為兩點之間的直線距離。 同一概念也構成任何座標系統中的距離公式。
- 螢幕。 電視或螢幕的對角線尺寸，就是以其寬與高構成的直角三角形的斜邊——即 a² + b² = c² 中的 c。 常見的 16:9 比例也是從相同的算術而來。
- 遊戲開發。 2D 碰撞、視線檢查和移動格線，全都依賴 c = √(Δx² + Δy²)。
- 日常量測。 跨越桌布量距離、測量坡道的水平與垂直距離，或檢查相框是否方正——定理早已給出答案。
將你自己的邊長輸入上方的畢氏定理計算機，看著上述每個情境即時得到解答，公式就寫在答案旁邊。