等比數列中每一項都等於前一項乘以一個固定的公比 r，因此第 n 項的公式是 a₁ 乘以 r 的 n 減一次方——也就是 aₙ = a₁rⁿ⁻¹ 這個公式，它正是「等比數列測驗」背後的運作原理。圍繞這個規則設計的數列規律測驗，會給你一個首項、一個公比，以及一個有五個位置、其中一個隱藏的數列，並要求你用這個公式填入缺少的值。這個在瀏覽器中運作的 等比數列測驗正好測試五張公開的題目卡，涵蓋了所有實際的邊界情況——正公比、會讓每一步反轉正負號的負公比、會讓數列歸零的零公比、讓數值保持不變的單位公比，以及較大的正公比。每答對一題就會推進一張卡並獲得 200 分，因此依序輸入五個正確答案總共可獲得恰好 1,000 分。測驗只接受帶正負號的純數字輸入，將空白或格式錯誤的輸入視為無效操作，並在出現第二個不同的錯誤數值時結束該回合——這種嚴格的數值規範讓它成為實用的練習，而非隨意點擊的遊戲。
等比數列測驗實際上在測什麼
一般的數列規律測驗通常混合了等差跳躍、交替的正負號、類似費氏數列的總和，以及各種臨時規則。 等比數列測驗則將範圍縮小到單一遞迴關係 aₙ = r · a_(n-1)，這正是複利、重複稀釋、減半以及二元倍增背後的代數恆等式。這種聚焦很重要，因為這個規則有一個明確的顯式公式：aₙ = a₁ · r^(n-1)。一旦你認出這個形式，就能毫無懸念地算出任何題目卡上的缺項，這就是為什麼等比數列測驗會在每一張卡上都同時顯示首項 a₁ 和公比 r，而不是把它們藏在選擇題選單裡。
這個測驗刻意挑選了五個公比來測試公式的各個邊界。公比為 2 會讓數列快速成長，公比為 -2 會在每一步交替正負號，公比為 0 會讓首項之後的一切都歸零，公比為 1 會讓每一項都凍結在首項的值，而公比為 3 則以更大的倍數放大。這些邊界情況在課堂上並不罕見——它們正是教科書用來測試學生是否真正理解這個規則、還是只記住了某個特定例題的標準題型。
五張公開題目卡及其缺項
等比數列測驗中的每一張卡都會顯示一個首項、一個公比，以及依序的五個位置，其中一個格子被遮住。這五張卡都是固定的，因此每次作答時每張卡上的缺項都相同。下方表格重述了這些已公布的題目卡及其答案，讓你在開始作答前可以驗證規則，也能一眼看出每張卡測試的是哪種邊界情況。
| 題目卡 | 首項 a₁ | 公比 r | 隱藏位置 | 缺項 aₙ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 2 | 第 4 項 | 24 |
| 2 | 5 | -2 | 第 4 項 | -40 |
| 3 | 7 | 0 | 第 4 項 | 0 |
| 4 | -4 | 1 | 第 4 項 | -4 |
| 5 | 2 | 3 | 第 5 項 | 162 |
題目卡 5 的第 5 項比其他卡多出一個位置，因為最後一張卡同時也是整個回合的終點。依序提交五個數值 24、-40、0、-4 和 162 即可清完所有卡，並獲得恰好 1,000 分——這個分數是五次各 200 分獎勵的總和，而非依時間或作答次數而變動的相對或縮放後的總分。
如何解出每張卡上的缺項
- 讀取目前題目卡上顯示的首項 a₁ 和公比 r，然後決定要逐步相乘，還是直接使用顯式公式 aₙ = a₁ · r^(n-1)。
- 確認卡上標示的隱藏位置。題目卡 1 到 4 隱藏的是第 4 項（n = 4）；題目卡 5 隱藏的是第 5 項（n = 5）。
- 在輸入欄位中輸入帶正負號的整數或小數。解析器接受像 -40 和 24 這樣的純數字，但會拒絕科學記號、空白、空格和非有限的數值。
- 按下 Enter 或點擊「檢查項目」來提交。空白或格式錯誤的輸入會被忽略，因此不會消耗一次錯誤次數或影響分數。
- 對五張卡重複以上步驟。當你依序提交 24、-40、0、-4 和 162 後，分數就會凍結在 1,000 分，該回合結束。
用手動驗算題目卡 1：aₙ = 3 · 2^(4-1) = 3 · 2^3 = 3 · 8 = 24。題目卡 2 套用相同的模板，但每一步都反轉正負號：aₙ = 5 · (-2)^3 = 5 · (-8) = -40。題目卡 3 會歸零，因為 a₁ 之後的任何一項都是 a₁ · 0^(n-1) = 0（n ≥ 2），所以第 4 項為 0。題目卡 4 在 r = 1 時每一項都等於 a₁，因此 -4 會再次出現在隱藏位置。題目卡 5 則以 aₙ = 2 · 3^(5-1) = 2 · 81 = 162 作為整個回合的收尾。
為什麼負、零和單位公比很重要
如果等比數列測驗只使用正的整數公比，那麼它只會測到乘法步驟，而跳過正負號和常數分支。 等比數列測驗混合了 r = 2、r = -2、r = 0、r = 1 和 r = 3，因此你必須思考：當公比為負時正負號會如何變化，當公比為零時數值會如何變化，以及當數列變成常數時會發生什麼。負公比特別容易處理錯誤，因為每一步都會翻轉正負號，指數只要差一就會在隱藏位置產生錯誤的正負號，這也是任何來源中數列規律測驗最常見的錯誤之一。
零公比和單位公比是兩種短路情況。當 r = 0 時，數列在首項之後的每一個位置都是零；當 r = 1 時，數列從頭到尾都不會改變。這兩個規則都很容易套用，但如果你試圖逐項計算而非辨認出公式將模式簡化的特性，兩者都可能讓你失誤。這個測驗刻意暴露這些邊界情況——它們正是所引用的數學參考資料在介紹顯式公式時所標記的相同邊界情況。
分數邏輯、錯誤與重新開始的控制項
每一個正確答案都剛好值 200 分，五張卡的總分上限固定為 1,000 分。第一次出現不同的數值錯誤是可以挽回的：錯誤次數加一，且同一張卡會保持為當前卡，讓你再試一次。第二次出現不同的數值錯誤則會立即結束該回合，輸入欄位會凍結在鎖定狀態，之後的提交都會被擋下。像 999 和 999.0 這種數值上相等但排版不同的輸入，會與已儲存的錯誤簽名進行比對去重，因此不會被視為第二次錯誤。
空白輸入、只有空白的輸入、指數記號以及非有限數值都是原子的無效操作。它們不會推進回合、不會改變分數，也不會消耗錯誤次數。這代表唯一會結束你回合的方式就是出現兩個不同的錯誤數值，因此一次手誤或不小心按錯鍵，你還有第二次機會，而非直接失敗。在編輯欄位以外且擁有焦點時按下 R 鍵即可重新開始：分數歸零、輸入欄位清空，第一張卡會重新出現。整個回合中，外部遊戲外殼提供的共用 Boss Key 隨時都能使用。
測驗背後的公式與來源
測驗所使用的數學定義與公式，已與 OpenStax College Algebra 2e — 第 9 章重要公式以及 Mathematics LibreTexts Advanced Algebra — 9.3 等比數列與級數交叉核對過。這兩份參考資料都以相同的遞迴關係 aₙ = r · a_(n-1) 和相同的顯式形式 aₙ = a₁ · r^(n-1) 來定義等比數列。測驗引用它們僅是為了其中的數學內容；計分方式、錯誤規則與遊戲設定則是 Lizely 獨立的設計選擇。
如果你想再次確認數列產生器，有兩個支援向量值得了解。當首項為正且公比為正時（例如 a₁ = 3，r = 2），會產生嚴格遞增的正數值；當首項為正但公比為負時（例如 a₁ = 5，r = -2），則會在每一步交替正負號。產生器只接受有限的、整數長度介於一至二十之間的首項與公比，會將負零正規化以便清楚顯示，並拒絕非有限的過渡數值，因此永遠不會回傳誤導性的結果。對八個字面的評估向量——正、負、分數、零與單位公比，再加上負的首項——所進行的獨立測試，確認了實際運作的產生器與本頁所述的公式一致。