假幣謎題，就是經典的十二枚硬幣天平問題：在十二枚外觀一模一樣、各自編號的硬幣中，有一枚的重量和其他硬幣不同，這個謎題要你只用三次天平秤重，找出到底是哪一枚編號的硬幣不一樣，以及它究竟是比較重還是比較輕。資訊量的計算，說明了為什麼「三」正好是這個神奇的數字：十二枚硬幣乘上兩種可能的方向，會產生二十四種假設；三次秤重、每次有三種可能的結果，會產生二十七種結果序列；而公開的秤重方案，會為每一種狀態，分配到一組獨一無二的序列。廣為人知的解法，是一套不會依結果調整、固定三列的方案，每一次都是拿四枚硬幣去對四枚硬幣秤重，因此不論最後哪一枚硬幣是假幣、它的重量偏向哪一邊，都可以用同樣的三次秤重解決。Coin Weighing Puzzle 工具 會機械式地重現這套方案，讓你實際點擊完成這幾次秤重，而不是直接看解答，這樣你就能親眼看到，候選清單在第三次結果出來後，從二十四種縮減到只剩一種。
假幣謎題到底是什麼
經典的假幣謎題，會給你十二枚外觀一模一樣、各自編號的硬幣。其中恰好有一枚，重量和其他硬幣不同，而你並不知道那是哪一枚編號的硬幣，也不知道它是比較重還是比較輕。你手邊有一台附有兩個等重秤盤的天平，而且只能使用恰好三次。在這三次秤重之後，你必須指出一枚硬幣，以及一個方向。如果你指出的硬幣和方向都正確，你就贏得這一輪。
這個謎題的歷史，比電腦運算還要悠久，好幾十年來，一直出現在教科書與趣味數學專欄中。各大學也發表過權威的說明文章：劍橋大學的 NRICH 專案，在 nrich.maths.org 上，收錄了經典的 Great Weights Puzzle 題目敘述，而 Plus Maths，則獨立說明了天平三種可能的結果，以及讓三次秤重就足夠的「二十四種狀態」推理過程。有趣的轉折在於，你的秤重方式，不需要依照天平之前顯示的結果而改變，因為一套公開、固定三列的方案，就能適用於每一種被允許的隱藏狀態，這是一個比一般決策樹搜尋更強的特性。
為什麼三次秤重就能涵蓋二十四種情況
在任何一次謎題中，每一枚編號硬幣都有兩種可能的角色：它可能是比較重的假幣，也可能是比較輕的假幣。以十二枚編號硬幣來說，這就會產生二十四種不同的假設。每一次等重秤重，都有三種可能的結果：左邊秤盤往下沉、兩邊平衡，或右邊秤盤往下沉。因此三次秤重，會產生三的三次方，也就是二十七種結果序列。
二十七大於二十四，因此理論上，三次秤重確實可以把每一種假設，都編碼成不同的序列。不過，光是有足夠的容量，並不算是證明。如果秤盤分組選得不好，可能會讓兩種不同的假設，得到同樣的三次結果序列，讓你到最後無法區分它們。Coin Weighing Puzzle 中公開的「四對四」方案，已經經過機械式的驗證：這十二枚硬幣中的每一枚，在三次秤重中，於左盤、右盤與未上盤這三個位置上，都有各自獨一無二的模式，而同一枚硬幣是重的假幣，會產生一組結果代碼，是輕的假幣，則會產生相反的代碼。在這二十四種假設中，全部二十四組代碼，彼此都是獨一無二的。
一個實際的驗證方式，是把一枚正常硬幣的重量設為十個單位、重的假幣設為十一個單位、輕的假幣設為九個單位，接著在每一種假設下，把兩邊秤盤的總重量加總起來。獨立的開發驗證程式，正是這樣去確認二十四組不同的三次結果向量。想更深入了解，為什麼二十四種狀態能容納在二十七種序列之中，可以參閱 the Plus Maths walkthrough。
公開方案與自訂路徑的比較
玩這個假幣謎題時，你並不是非得遵循那套公開的三列方案不可。你可以把任何不同的硬幣，以任何方式分組，放到任一邊的秤盤上，只要兩邊秤盤上的硬幣數量相同且大於零即可。這兩種做法，各自有不同的取捨。
| 特性 | 公開的「四對四」方案 | 自訂的等量秤盤分組 |
|---|---|---|
| 使用的秤重次數 | 恰好三次 | 恰好三次 |
| 是否會依結果調整 | 不會，每一輪都是同一套方案 | 會，你可以每次秤重都改變做法 |
| 是否已驗證會只剩一個候選項 | 是，適用於每一種狀態 | 不一定 |
| 第三次秤重後剩下的候選項 | 一個 | 不一定，可能有好幾個 |
| 最後猜測時的風險 | 沒有因模糊不清而產生的風險 | 若還有多個候選項殘留，風險會較高 |
這套公開的方案，是不需要依結果調整的，這比一般的分支搜尋更強：不論天平先前顯示過什麼結果，都可以使用同樣的三次比較。一條設計得好的自訂路徑，同樣可以一樣有效，但一條資訊量不足的自訂路徑，可能會在三次秤重之後，仍然留下好幾個候選項。這個遊戲，仍然要求你做出一次最終猜測；它不會悄悄多加一次秤重，也不會揭露隱藏的預設答案。
如何在瀏覽器中解開假幣謎題
Coin Weighing Puzzle，把這套抽象的邏輯，變成一個可以點擊操作、真正進行秤盤比較的天平調查過程，而不是直接把謎題換成一份解答清單。要從頭到尾完成一輪：
- 打開 Coin Weighing Puzzle 工具，把數量相同、彼此不同的硬幣，分別放到左右兩邊的秤盤上；或是選擇 Load plan，套用下一個公開的「四對四」比較方案。
- 選擇 Weigh now，並記錄下左邊秤盤比較重、兩邊平衡，還是右邊秤盤比較重。重複這個動作，直到完成恰好三次有效秤重。
- 在第三次結果出來後，選出一枚編號硬幣，標記為 Heavier 或 Lighter，然後送出。解出全部五種情況，正好會得到 1,000 分。
在兩邊秤盤上的硬幣數量相同且大於零之前，Weigh now 這個控制項，會一直維持不可使用的狀態，因此這個遊戲，會用機制強制執行「等量秤盤」這條規則。一枚硬幣不可能同時放在兩邊秤盤上，因為它目前的位置，就是一個明確的狀態：未上盤、在左邊，或在右邊，三選一。在秤重階段中，候選項計數器，就是你即時的證據：它一開始是二十四，並在每一次有效秤重之後，篩選這個假設集合。依照公開的方案進行，不論假幣的實際狀態是哪一種，第三次結果出來後，都會只剩下一個候選項。
如何解讀結果紀錄與候選項計數器
每一次秤重之後，這個遊戲會在看得見的紀錄中，記下三件事：所選的秤盤分組、三種狀態中的結果，以及剩餘的候選項數量。接著秤盤會清空，準備進行下一次比較。這個候選項計數器，並不只是裝飾用的，因為它就是每一次有效秤重之後，實際的假設集合，會透過移除任何和觀察到的結果矛盾的假設來更新。
當某個假設所預測的結果，和天平實際顯示的結果不一致時，這個假設就會被移除。舉例來說，如果你把 1、2、3、4 號硬幣放在左邊，把 5、6、7、8 號硬幣放在右邊，結果天平平衡了，那麼假幣就不可能是 1 到 8 號中的任何一枚，不論哪個方向都一樣。只有未上盤的那四枚硬幣，也就是 9 到 12 號，才可能是比較重或比較輕的假幣。計數器會從二十四降到八，而下一次秤重，就會針對這個縮小後的範圍來設計。
不可能進行第四次秤重。用來挑選一枚硬幣、標記為重或輕，並送出的答案控制項，只會在三次有效結果出現之後，才會出現。
計分、重試，以及拿到 1,000 分的路徑
這五輪隱藏的關卡，會分別鍛鍊到策略的不同部分。預設的情境是：1 號硬幣偏重、6 號硬幣偏輕、12 號硬幣偏重、8 號硬幣偏輕，以及 10 號硬幣偏重。它們並不是隨機產生的，這代表整個路徑，是可以重現並被檢驗的。每正確辨識出一次硬幣編號與方向，會得到 200 分，因此解出全部五種情況，正好會得到 1,000 分。
一次錯誤的完整猜測，是可以挽回的。在同一輪中重複猜同一個錯誤的硬幣與方向，不會被算成兩次；只有第二次、不一樣的錯誤猜測，才會結束這一輪。完成或卡關的狀態，會凍結畫面，直到你按下 Restart 為止。共用的 GameShell，提供了分數、可選的本機儲存最佳分數、Restart 控制項、鍵盤操作說明，以及連按兩次 Escape 的老闆鍵功能。
不論是用鍵盤還是觸控操作，都使用同一套處理邏輯。在完成三次秤重之前，A 會把選取的硬幣送到左邊，D 送到右邊，X 移除它，P 載入目前的方案列，Enter 則對有效的秤盤進行秤重。三次秤重完成之後，Space 會選取目前反白顯示的嫌疑硬幣，H 標記為重，L 標記為輕，Enter 則送出答案。
這個工具明確標示出的常見限制
這個數學上的限制，是刻意設計的。這裡的假幣謎題，是一個理想化的趣味天平謎題，並不是實際的秤重應用程式。它不會模擬校準誤差、摩擦力、硬幣與硬幣之間的製造差異、實際的數值質量、不確定性、損壞的秤具，或真實貨幣。10、11 與 9 這幾個數值，只存在於獨立的開發驗證程式中，因為它們之間的相對大小關係，讓理想化的秤盤結果，很容易重新計算；實際執行時的遊戲玩法，只會使用宣告出來的「重或輕」假設，以及硬幣在等量秤盤上的所屬關係。
沒有任何回應會離開瀏覽器、不需要任何帳號、不會呼叫任何遊戲相關 API，也不會載入任何外部資源，因此這個謎題，完全自成一體地存在於單一一個頁面之中。
若想深入了解，請參閱 Solve the Color Gradient Puzzle by Following the Shortest Hue Arc。
若想深入了解，請參閱 How to Solve a Counting Blocks Puzzle with Hidden Cubes。