在「分數圖形拼圖」中，空白圖形不會被算作錯誤。按下「檢查圖形」時若沒有任何格子被塗色，系統會顯示「未完成」的訊息，你的分數維持不變，也不會計入不同的錯誤次數，因此遊戲會繼續進行，你可以在同一張卡上繼續塗色。只有當你提交一個非空白的塗色樣式，且其交叉乘積與目標分數不相符時，才會記錄為一次錯誤;而第二個不同的錯誤樣式才會結束這一回合。因此，「空白圖形算不算錯誤」這個問題有一個精確的答案:它不算任何東西，因為遊戲將空白的提交視為尚未嘗試，而不是錯誤，這就像紙筆測驗上的空白答案會留白，而不是被標記為錯誤。無論你在五張卡中的哪一張上嘗試，你都會得到相同的回饋，而且每次塗色變更後都可以重新檢查，而不會消耗一回合的機會。
這個空白提交規則很重要，因為遊戲的其他部分是建立在一個嚴格的「兩次錯誤上限」之上。「分數圖形拼圖」每答對一張卡會獎勵 200 分，並在任何關卡出現第二次不同的錯誤塗色樣式時結束一回合，這就是為什麼準確理解錯誤何時被記錄能保護你的分數。在 分數圖形拼圖 的官方瀏覽器版本中，目前的塗色分數、目標分數、有效檢查後的交叉乘積、不同的錯誤次數，以及你的分數都會顯示在同一條狀態列上，所以「空白圖形」這個問題的答案就在畫面上，而不是藏在規則書中。
「分數圖形拼圖」中錯誤計數器的運作方式
錯誤計數器綁定於「關卡 + 塗色遮罩簽名」，這就是「你目前所在的卡，加上目前塗色的確切格子」的技術術語。只有當兩次提交來自同一關卡，且產生相同的塗色格子索引集合時，它們才會被視為同一個錯誤;任何其他組合都是不同的簽名，也就是不同的錯誤。
- 在任何卡上的空白圖形。檢查會執行，顯示「未完成」訊息，且不會有任何變化。分數維持不變，不同的錯誤次數也保持在零。
- 在任何卡上的第一次錯誤的非空白塗色。交叉乘積不相符，會記錄第一次不同的錯誤，你可以繼續塗色並重新檢查。
- 在同一張卡上重新提交相同的錯誤塗色。簽名完全相同，錯誤不會被重複計算，不同的錯誤計數器也不會變動。
- 在同一張卡或另一張卡上出現第二次不同的錯誤塗色。第二次錯誤會被記錄，回合會凍結所有格子切換、游標移動和檢查動作，你必須重新開始才能再玩。
這四列的說明就是完整的錯誤生命週期，這保證了當你仍在思考、或正在修正先前的錯誤時按下「檢查圖形」，絕對不會被記為一次扣分。
如何逐步遊玩「分數圖形拼圖」
操作方式和動作順序是固定的，因此利用空白提交規則最安全的方法，就是在每張卡上都遵循相同的工作流程。
- 讀取上方顯示區的目標分數，並計算矩形內繪製的等分格數，因為目標的分母與形狀中等分的數量並不相符，這就是為什麼遊戲使用交叉乘積來檢驗等價，而不是直接比較兩個數字。
- 使用可見的格子按鈕，透過滑鼠或觸控螢幕選擇要塗色的格子，或使用方向鍵移動游標，然後按下空白鍵來切換目前格子的塗色狀態。
- 按下「檢查圖形」，可以點擊螢幕上的按鈕，或按下鍵盤上的 C 鍵，來比較 shadedCount × targetDenominator 與 targetNumerator × partCount。
- 讀取遊戲在目前塗色分數下方列出的兩個交叉乘積;數字相等代表答對該卡，可獲得 200 分，數字不相等則代表一次錯誤——除非該圖形為空白。
- 前進到下一張固定的卡，對全部五個目標重複相同的工作流程，並在正好獲得 1,000 分且沒有任何不同的錯誤時，完成此回合，得到一張完美的成績單。
如果你的第一次檢查是錯誤的，回合並不會結束。你可以繼續塗不同的格子，直到你的交叉乘積相符並獲得 200 分，或直到你產生第二次不同的錯誤塗色，並在第二次不同的錯誤時凍結回合。
空白圖形與非空白錯誤圖形:有什麼差別
空白圖形與非空白錯誤圖形之間的區別，正是這個規則存在的全部原因，所以值得將它們並列比較。
| 動作 | 遊戲的反應 | 對分數的影響 | 對不同錯誤次數的影響 |
|---|---|---|---|
| 在沒有任何塗色格子的情況下檢查圖形 | 顯示「未完成」的回饋 | 無變化 | 無變化 |
| 使用不相符的樣式檢查圖形 | 顯示不相等的交叉乘積 | 無變化 | +1 不同的錯誤 |
| 重新檢查相同的不相符樣式 | 辨識出相同的簽名 | 無變化 | 無變化 |
| 使用第二個不相符的樣式檢查圖形 | 記錄一個新的簽名 | 無變化 | +1 不同的錯誤;在第二次時回合凍結 |
| 使用相符的樣式檢查圖形 | 顯示相等的交叉乘積 | +200 分 | 無變化;前進到下一張卡 |
中間那一列最容易與第一列混淆，因為兩者都會產生「你尚未成功」這類的回饋。第一列只是表示「你尚未嘗試」，而第二列則表示「你已嘗試，且數學上不成立」。了解這個差別，才能讓你自由地實驗，而不用消耗一回合的機會。
五張固定卡及其交叉乘積
每一局「分數圖形拼圖」都會以相同的順序呈現相同的五張卡，這讓你可以在按下「檢查圖形」之前，在紙上輕鬆驗算正確的塗色數量。
| 卡 | 等分格數 | 目標分數 | 需塗色的格子數 | 交叉乘積檢查 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 1/2 | 2 | 2 × 2 = 1 × 4 = 4 |
| 2 | 6 | 2/3 | 4 | 4 × 3 = 2 × 6 = 12 |
| 3 | 8 | 3/4 | 6 | 6 × 4 = 3 × 8 = 24 |
| 4 | 10 | 2/5 | 4 | 4 × 5 = 2 × 10 = 20 |
| 5 | 12 | 5/6 | 10 | 10 × 6 = 5 × 12 = 60 |
每一列就是一張卡，而每個交叉乘積都是一個你可以在心中進行的小乘法。第 3 張卡值得我們詳細走一遍，因為它結合了高於目標的分母，以及與格子數不相符的分子。在八個等分且目標為四分之三的情況下，塗色數量為六。遊戲計算 shadedCount × targetDenominator，也就是 6 × 4 = 24，以及 targetNumerator × partCount，也就是 3 × 8 = 24。因為兩個乘積都等於 24，所以該卡通過，並加上 200 分;若塗了第七個格子，乘積就會變成 7 × 4 = 28 對上 3 × 8 = 24，簽名會被記錄為錯誤的遮罩，你在同一張卡上就用掉了一次可用錯誤中的其中一次。
為什麼遊戲使用交叉乘積而不是小數
分數的等價可能會令人困惑，因為兩個看起來不同的分數可以描述整體中的相同部分。如果遊戲將塗色數量轉換為小數，二分之一和五分之十都會顯示為 0.5，這沒問題，但四分之三和十分之七會顯示為 0.75 和 0.7，只會因為小數展開終止的方式而被判定為不同。許多其他的等價分數會四捨五入到具有誤導性的值。
交叉乘積測試透過停留在整數的領域中，規避了這整類的錯誤。檢查 shadedCount × targetDenominator = targetNumerator × partCount 正是用於在不先化簡的情況下驗證等價分數的標準方法，也就是你在五卡表格中看到的測試。交叉乘積測試決定某個遮罩形狀是否正確，而去重規則則另外以精確的「關卡 + 塗色遮罩簽名」作為依據，所以重新提交同一組塗色格子只算一次錯誤，而不是兩次;兩個碰巧產生相同等價的不同遮罩是不同的簽名，會被算成不同的錯誤。如需了解五張卡如何對應其交叉乘積的並列逐步說明，請參閱 分數圖形遊戲:用交叉乘積配對 5 個目標 指南。
來源涵蓋了什麼，以及沒有涵蓋什麼
遊戲背後的分數規則來自兩個公開可用的數學來源。將分數定義為「分母部分中的分子計數」的視覺等分模型，在 OpenStax Prealgebra 第 4.1 節「視覺化分數」 中有說明，而用於等價的交叉乘積測試則在 LibreTexts 的「等價分數」章節中有描述。遊戲同時使用了兩者:OpenStax 用於視覺圖形，而 LibreTexts 用於基於整數的等價檢查。
值得明確指出的是，這些來源並未背書哪些內容，因為文獻涵蓋的是分數規則，而非遊戲設計上的選擇。所引用的來源僅支持分數視覺化和等價，它們並未背書遊戲中特定的五張卡選擇、每卡 200 分的計分、空白圖形規則，或是不同錯誤上限。這些設計部分是遊戲本身的產品決策，而非關於數學的論述。
遊戲自動處理的邊緣情況
有幾個邊緣情況值得了解，因為它們是輸入可能出錯的唯一幾種方式。遊戲會在嘗試計分之前，先拒絕零目標分母、不可能的部分數量，以及任何不安全的交叉乘積邊界，因此卡片不會對無意義的輸入悄悄頒發零分。負數、小數或超出範圍的格子索引是不可分割的無操作，這表示越界的按鍵不會有任何反應，游標會停留在原處。
一旦回合完成或陷入僵局，格子切換、游標移動和「檢查圖形」都會被凍結，而重新開始會讓你回到第一張卡、一個空白圖形、零分和零次錯誤。所有狀態都儲存在你的瀏覽器中，這就是為什麼沒有東西需要儲存、上傳或等待逾時。介面顯示了足夠的數學資訊(交叉乘積的兩側、目前的塗色分數、目標分數、關卡進度、不同錯誤、回饋和分數)，讓每個決策都能在螢幕上被稽核。
如需更深入的探討，請參閱 Hidato 每日謎題:解開固定的 4x4 數字路徑。