一款基於理想正齒輪物理的連接齒輪遊戲，要求你將每個候選齒輪放入一個固定插槽，讓相切的圓形成從左側順時針的驅動齒輪到右側目標齒輪的一條連續且無衝突路徑。Gear Rotation Puzzle 在五個確定性的關卡中提供完全相同的挑戰，每個有效齒輪組恰好獲得 200 分。棋盤是根據幾何關係而非隱藏的答案清單來計算接觸：當兩個節圓的中心距離在其半徑和的 0.75 個遊戲單位以內時，便產生一條邊。每個外部嚙合都會反轉方向，角速度依 omega_neighbor = -omega_current × teeth_current / teeth_neighbor 傳遞。在理想同模數模型中，中間惰輪會再增加一次反轉，但會在最終速比中抵消，因此最終大小僅取決於驅動齒輪和目標齒輪的齒數。五個正確的配置恰好產生 1,000 分，一次完整的失敗可以重新挑戰，但第二次不同的失敗會使該回合卡死。
連接齒輪遊戲實際的要求
典型的「連接齒輪」謎題會在固定的驅動齒輪和固定的目標齒輪之間給你一排空插槽，外加一個小齒輪架，裡面是齒數不同的候選齒輪。遊戲並不是要你親自轉動任何東西；而是要你為每個候選齒輪決定一個插槽配置。一旦每個插槽都被填滿，棋盤就會從驅動齒輪以帶正負號的速度 +1 進行廣度優先傳遞，並為每個幾何上的鄰居賦予相反的方向與依齒數調整後的速度。如果傳遞在沒有矛盾的情況下到達目標齒輪，目標齒輪就會開始轉動，並由棋盤上的標籤顯示順時針或逆時針旋轉。目標齒輪的側邊記錄會顯示理想的目標對驅動速度大小。
填滿每個插槽是必要條件，但並非充分條件。放置的齒輪必須屬於受力的連通分量，且目標齒輪必須能透過所產生的接觸圖從驅動齒輪抵達。一個雖然填滿每個插槽，但卻讓某個齒輪孤立或產生方向衝突的配置，將完全無法轉動目標齒輪。解答器並不會把你的配置與儲存的解答進行比對；它會測試你所畫出的幾何，並回報物理上會發生什麼結果。
Gear Rotation Puzzle 如何解決連接齒輪任務
這個謎題所使用的物理模型，與入門齒輪設計教材中用於初步推導的同模數理想模型相同：外部正齒輪、完美的漸開線齒形、無背隙、無摩擦、無軸心偏差。根據 MIT OpenCourseWare 的齒輪與連桿講義，外部嚙合會在每一對齒輪處反轉旋轉方向，速比會沿著齒輪組串接；根據 tec-science 齒輪級入門，一個級的理想速比為被動齒齒數除以主動齒齒數，並沿著鏈條計算正負號變化。Gear Rotation Puzzle 直接採用這些規則並將其顯示在棋盤上。
這就是為什麼這款遊戲完全符合「連接齒輪」的搜尋意圖：你透過建立一條由嚙合齒輪組成的連續幾何路徑，將驅動齒輪連到目標齒輪，這和入門機械工程題會要求你畫出的齒輪組鏈相同。差別在於，答案是透過傳遞即時驗證，而不是依賴你的計算。
逐步建立一個可運作的齒輪組
在 Gear Rotation Puzzle 的每個關卡中，請依照以下步驟進行：
- 檢視候選齒輪架。記下每個齒輪的齒數與對應的視覺半徑；齒輪越大，齒數越多。
- 在心中將順時針的驅動齒輪和目標齒輪視為你即將建立之路徑的兩個端點。
- 挑選一個候選齒輪並放入固定插槽；該候選齒輪將無法再用，直到你將它清掉為止。
- 在測試前先填滿所有剩餘的插槽；遊戲不允許你提交一個尚未填滿的棋盤。
- 按 Enter 鍵測試齒輪組。若目標齒輪旋轉，且側邊記錄顯示非零的大小，則該配置正確，你獲得 200 分。
- 若配置失敗，點擊已佔用的插槽以歸還該齒輪，嘗試不同的插槽並重新測試；選取、移除或替換候選齒輪本身並不會被記為錯誤。
- 當五個關卡全部解完時，回合恰好結束於 1,000 分，沒有時間加成、隱藏倍數或隨機因素。
方向、速比與惰輪為何會抵消
每個外部嚙合都會反轉旋轉方向。若驅動齒輪順時針旋轉，則與其直接接觸的齒輪必須逆時針旋轉，下一個鄰居又回到順時針，並依此沿著鏈條交替。正負號速度規則為 omega_neighbor = -omega_current × teeth_current / teeth_neighbor。在一個簡單的齒輪組中，中間級的速比會串接相乘，因此三齒輪的鏈條會將三個級速比相乘，每個外部接觸產生一次正負號變化。
惰輪是放置在兩個功能性齒輪之間，用於承載方向並跨越實體間距的齒輪。由於它在兩側都被嚙合，因此會在鏈條上產生兩次反轉，這是偶數次，因此它本身的齒數並不會改變最終方向。在端對端的速比中，惰輪的齒數會在分子和分母中各出現一次，因此互相抵消。因此最終大小僅取決於驅動齒輪和目標齒輪的齒數。這正是使本謎題成為思考題的核心物理要點：你可以自由地加入惰輪以解決連接性問題，而不會影響最終速度。
| 性質 | 在 Gear Rotation Puzzle 中的行為 |
|---|---|
| 接觸條件 | 當節圓中心距離在半徑和的 0.75 個遊戲單位以內時，產生一條邊 |
| 接觸時的方向 | 反轉：每個外部嚙合都會把順時針變成逆時針，反之亦然 |
| 速度規則 | omega_neighbor = -omega_current × teeth_current / teeth_neighbor |
| 惰輪在速比中的角色 | 抵消；貢獻兩次反轉（偶數）且對大小無影響 |
| 迴圈奇偶性 | 奇數三角形接觸圖會產生衝突；偶數正方形接觸圖保持一致 |
迴圈奇偶性這一行值得停下來思考。若三個齒輪形成一個接觸三角形，並為其中一個指定順時針旋轉，則第二個必須逆時針，第三個又為順時針，這與第一個齒輪自身的指定相矛盾。解答器會將此標記為奇偶衝突並拒絕該配置。相較之下，四齒輪的正方形經過兩次反轉會回到起始側，因此是一致的。迴圈正是檢驗你是否理解反轉規則的最簡潔方式。
計分、失敗與 1,000 分路線
每次成功的測試恰好獲得 200 分，並開啟下一個固定齒輪箱。五個正確的配置恰好產生 1,000 分。沒有時間加成、隨機關卡、自適應難度、隱藏倍數，也沒有因為嘗試不同配置而產生的扣分。不允許提交尚未填滿的棋盤，且選取、移除或替換候選齒輪本身並不會被視為錯誤。
每個回合恰好提供一次可重新挑戰的失敗機會。遊戲的回饋會區分三種失敗模式：目標齒輪與驅動齒輪未連通、某個齒輪孤立而未屬於受力的連通分量，或兩條抵達同一齒輪的路徑產生方向衝突。重複提交完全相同的失敗配置會被去重，因此重試同一個錯誤配置並不會消耗你剩餘的機會。第二次不同的失敗完整配置會關閉該回合，而 Restart 會讓你回到第一關，並清空棋盤、分數為零、無失敗紀錄，也沒有保留的候選齒輪。
鍵盤控制與重玩可靠性
這款遊戲在不需要滑鼠或觸控介面的情況下即可完成完整的建構流程。數字鍵 1 到 4 可用來持住可用的候選齒輪，而 Q、W、E、T 則分別對應由左至右的四個插槽。在已持住候選齒輪時按下插槽鍵，會將該候選齒輪放入該插槽；在未持住候選齒輪時按下插槽鍵，則會清空該已佔用的插槽。Enter 鍵測試一組完全填滿的齒輪組，R 鍵則重新開始。每個指標目標的寬度至少為 44 像素，並具有可見的焦點狀態與持住狀態，因此同一組配置可以在觸控、指標與鍵盤輸入下重現。
這五個關卡都是確定性的原始固定關卡。候選齒輪的半徑、齒數、插槽座標、驅動齒輪尺寸以及目標齒輪尺寸在不同回合之間不會改變。獨立測試逐字重現每個關卡，完成從 200 到 1,000 的完整路線，從一次失敗齒輪組中復原，將重複提交的失敗去重，觸發第二次失敗導致的卡死，並凍結所有終端動作。研究範圍會顯示在棋盤旁邊以及所引用的方法論中：僅限理想同模數的外部正齒輪，而扭矩、功率損失、齒根應力、背隙、齒廓干涉、軸對準、潤滑、噪音、磨耗、材料、安全係數、公差與動態負載皆被刻意省略。一切都在瀏覽器本地端執行，無需帳號、下載、上傳、API、遠端模型、隨機服務或任何硬體權限。