12 枚硬幣謎題是一道經典的邏輯問題:12 枚外觀完全相同的硬幣中藏著一枚奇異的硬幣,它的重量可能比正常硬幣重,也可能比正常硬幣輕,解題者必須在最多三次秤量內,於一臺理想等臂天平上同時找出該硬幣的編號以及它是偏重還是偏輕的方向。每次秤量會產生三種結果之一 —— 左盤較重、兩盤平衡,或右盤較重 —— 而第四次秤量是不被允許的。由於共有 12 個可能的硬幣以及 2 個可能的方向,謎題存在 24 種隱藏狀態,三次秤量則可產生 27 種結果序列;只要仔細挑選盤面的硬幣組合,便足以剛好容納所有狀態。「硬幣秤重謎題」工具把這個數學邊界化為一個可在瀏覽器中執行的完整互動探究,提供可編輯的秤盤、一份公開且非適應性的 4 對 4 秤重排程、精確的分數,以及一條可重現、總計五輪通往 1,000 分的解題路線。
12 枚硬幣謎題真正在問什麼
編號 1 到 12 的 12 枚硬幣被擺放好供檢視。這 12 枚硬幣在視覺上看起來完全一樣。其中恰好有一枚硬幣的理想重量與其他 11 枚不同,但你事先並不知道這枚奇異硬幣是偏重還是偏輕。你最多可以使用三次秤量,於等臂天平上進行,第三次秤量結束後,你必須同時說出該硬幣的編號,以及它是偏重還是偏輕。一輪遊戲中的隱藏設定在過程中是固定的,正確辨識一次可在該輪獲得 200 分。同一輪中,首次錯誤的辨識是可挽回的。在同一輪中對同一枚硬幣、同一個方向重複猜錯不會計算第二次,仍然可以挽回;但若第二次猜錯的是另一個不同的結果,則該局遊戲即告結束。
這個定義與「找出偏重硬幣」的變體不同 —— 後者方向是事先已知的。更困難的版本,有時稱為「偉大秤重謎題」(Great Weights Puzzle),由劍橋大學的 NRICH 文件化,它不預設方向,也是大多數搜尋者腦中所指的典型 12 枚硬幣謎題。Plus Maths 則另外說明了為什麼未知方向會使假設空間由 12 擴大到 24,以及為什麼三結果的天平是這個問題最自然的工具。
為什麼三次秤量在數學上已經足夠
資訊容量是第一個檢查點。每次秤量會產生三種結果之一,因此三次秤量共可產生 3 × 3 × 3 = 27 種不同的結果序列。這個謎題需要 12 個硬幣編號 × 2 個方向 = 24 種假設狀態。然而,僅有容量並不足以證明排程可行。若盤面硬幣的選擇過於天真,可能會使兩個假設對應到同一結果序列,造成三次秤量結束後仍有數個無法區分的候選,而無法以合法方式分辨它們。
| 數量 | 數值 | 由何而來 |
|---|---|---|
| 桌面上的硬幣 | 12 | 編號 1 到 12,目視完全相同 |
| 可能的方向 | 偏重或偏輕 | 在第三次秤量前未知 |
| 假設狀態數 | 24 | 12 個硬幣編號 × 2 個方向 |
| 每次秤量的結果數 | 3 | 左盤較重、平衡、右盤較重 |
| 3 次秤量產生的結果序列數 | 27 | 3 × 3 × 3 |
| 公開排程列數 | 3 | 皆為 4 對 4,非適應性 |
「硬幣秤重謎題」工具中的公開排程採用三組互相獨立的 4 對 4 比較。由於同樣的三次秤量無論前一次結果為何都適用,這個排程是非適應性的,比起每次結果後都需要不同分支的做法更為強健。一個獨立的測試 oracle 為每枚正常硬幣賦予 10 單位的值,偏重奇異硬幣為 11 單位,偏輕奇異硬幣為 9 單位。它會在所有 24 種假設下對左右兩盤加總,並驗證 24 個對應的三結果向量皆為唯一。正是這種唯一性使得這個邊界僅僅足夠,而不僅僅是可行;也是這個特性,使得在第三次秤量後,任何被允許的隱藏狀態都能收斂到唯一的候選。
如何使用互動工具解開 12 枚硬幣謎題
「硬幣秤重謎題」工具可在任何現代瀏覽器中引導你走完完整流程,無需下載或註冊。請依序執行以下步驟。
- 在左右兩盤擺放相同數量的不同硬幣。每枚有編號的硬幣可處於三種狀態之一:不參與秤重、放在左盤,或放在右盤。單一硬幣不能同時占據兩個盤面。「立即秤重」按鈕在左右兩盤尚未擺放相同正數的不同硬幣之前會保持停用。
- 或選擇「載入排程」以套用下一組公開的 4 對 4 比較。由於公開排程為非適應性,你可以依序執行這三組排程列,無論隱藏設定為何,皆可在第三次秤量後收斂到唯一候選。
- 選擇「立即秤重」並記錄三態結果。天平會回傳三種結果之一:左盤較重、兩盤平衡,或右盤較重。候選計數器會隨著與該結果不一致的假設從 24 個候選集合中移除而下降。
- 重複進行恰好三次有效的秤量。可見的記錄會為每次秤量記錄所選的盤面硬幣組合、三態結果,以及剩餘的候選數。隨後版面會清空,以進行下一組比較。
- 在第三次結果之後,選擇一枚有編號的硬幣,標記為「偏重」或「偏輕」,然後提交。答案控制項僅在三次有效秤量完成後才會出現。第四次秤量是不可能進行的。
- 解完所有五個情境,獲得正好 1,000 分。五輪的隱藏設定為:硬幣 1 偏重、硬幣 6 偏輕、硬幣 12 偏重、硬幣 8 偏輕,以及硬幣 10 偏重。每輪正確可獲得 200 分,因此 200 × 5 = 1,000。
完整的互動版本位於 Coin Weighing Puzzle,你可以在同一個頁面中擺放硬幣、載入公開排程、秤重、記錄並提交,全程無需離開瀏覽器。
解讀候選計數器以及你自己的自訂路線
候選計數器是此工具中最強的回饋來源,因為它來自實際結果的證據,而非裝飾性動畫。它起始於 24 —— 硬幣 1 偏重、硬幣 1 偏輕、硬幣 2 偏重、硬幣 2 偏輕,依此類推至硬幣 12 偏輕 —— 並在每次有效秤量後縮小,因為化簡器會過濾掉與觀測到的三態結果不一致的假設。對任何可能的奇異硬幣及其方向而言,沿著公開排程進行會在第三次秤量後留下唯一一個候選,這正是 4 對 4 排程能成為完整策略的關鍵特性。
你也可以自行設計等盤比較,自由編輯任一盤,並觀察計數器的不同表現。該工具仍要求在三次秤量後做出最終的硬幣與方向猜測;它不會悄悄給予額外的比較,也不會洩露隱藏設定。若自訂路線資訊量不足,三次秤量後仍會留下數個候選,這正是「排程不夠豐富」的可見訊號。盤面硬幣數量不匹配的秤量會保持為灰色,無效的組合永遠不會被提交,遊戲也會保留先前的候選計數而不致被破壞。正是這個區別,把謎題從「試誤練習」轉化為一場可量測的探究。
控制項、計分以及通往 1,000 分的路徑
滑鼠、觸控與鍵盤玩家皆使用相同的化簡器,每枚硬幣與每個動作同時也是大型按鈕。方向鍵移動所選硬幣;在三次秤量之前,A 將所選硬幣送往左盤、D 送往右盤、X 將其從盤面移除、P 載入目前公開排程列、Enter 對有效的盤面進行秤量。在三次秤量之後,Space 選取醒目顯示的嫌疑硬幣、H 標記為偏重、L 標記為偏輕、Enter 提交。
計分精確且可稽核。每次正確的硬幣與方向辨識給予 200 分,解完所有五個情境正好得到 1,000 分。五輪隱藏設定並非隨機,因此完整路線可被重現與稽核。共享的 GameShell 層提供持續顯示的分數、可選的本機儲存最佳分數、重新開始、螢幕上鍵盤說明,以及在共用螢幕下可用的雙擊 Escape 老闆鍵。
| 階段 | 控制項 | 效果 |
|---|---|---|
| 選取硬幣 | 方向鍵 | 移動醒目顯示的硬幣編號 |
| 將硬幣送往秤盤 | A (左)、D (右) | 將所選硬幣放到指定的秤盤 |
| 移除硬幣 | X | 將所選硬幣移出秤盤 |
| 載入公開排程 | P | 套用下一組 4 對 4 比較 |
| 秤量有效的盤面 | Enter (在 3 次結果之前) | 記錄一組三態結果 |
| 選取嫌疑硬幣 | Space (在 3 次結果之後) | 醒目顯示一張有編號的硬幣作為猜測 |
| 標記方向 | H (偏重)、L (偏輕) | 設定嫌疑硬幣的方向 |
| 提交猜測 | Enter (在 3 次結果之後) | 結束該輪並給分或進行挽回 |
理想化天平的極限
「硬幣秤重謎題」刻意採用一個理想化的休閒天平謎題,而不是真實的秤重應用。它並未模擬校正誤差、摩擦力、硬幣間的製造變異、數值重量、不確定性、受損的秤,或真實貨幣。10、11 與 9 這三個值僅存在於獨立的開發 oracle 中,因為它們的相對順序使理想盤面結果易於重新計算。執行階段的遊戲只使用宣告的偏重或偏輕假設,以及等盤的成員配置。
正是這種理想化使得排程得以運作。實際的秤可能漂移、指針可能卡住,贗品硬幣的數值質量也可能不是正常硬幣的整數倍。12 枚硬幣謎題刻意剔除這些變數,讓問題簡化為純粹的資訊理論:27 個序列能編碼多少個不同的假設?是否存在一個固定的排程能夠涵蓋 24 種情況?公開的 4 對 4 排程回答了「是的」,而這個工具讓你得以一輪一輪地互動驗證,無需登入、無需網路請求,也無需安裝套件。
如果你想獲得一份涵蓋數學本身的引導式路線,原始問題敘述保存在 NRICH / University of Cambridge;Plus Maths 則另外逐步說明三種可能的天平結果,以及構成此未知方向版本典型形式的 24 個候選狀態。
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