若要以角度求扇形面積，請將整圓面積乘以扇形所涵蓋旋轉角度的比例：A = (θ/360) × πr²。其中，θ 是以度數表示的圓心角，r 是圓的半徑。分母 360 度代表一次完整旋轉，因此相同的比例也適用於小扇形或整圓。若要確保計算可靠，半徑必須為正值且為有限值，而圓心角必須大於零但不得超過 360 度。扇形面積計算器會先將角度轉換為弧度，再套用此以度數為基礎的關係式，接著顯示扇形面積、對應的弧長以及占整圓的百分比。 throughout 使用一致的長度單位十分重要：輸入以英尺為單位的半徑，會得到以平方英尺表示的面積及以英尺表示的弧長；而輸入以公分為單位的半徑，則會得到以平方公分表示的面積及以公分表示的弧長。本頁會在您的瀏覽器本機執行算術運算，無須上傳資料或登入帳號，並讓公式陳述持續顯示在結果旁，方便核對計算。這在題目提供度數，但您同時需要相關邊界長度或扇形占整圓的比例時特別實用。
角度與弧度公式的關係
公式 A = ½θr² 要求 θ 以弧度表示。如果圓心角已經以度數表示，計算器會先套用 θ 弧度 = θ 度 × π/180。此轉換與OpenStax《代數與三角》角度章節中的度數與弧度討論一致。
由於整圓包含 360 度，也就是 2π 弧度，因此度數形式可直接得出：A = (θ 度/360) × πr²。其他結果也由完整旋轉的相同比例決定。弧長為 s = (θ 度/360) × 2πr，而扇形占整圓的比例為 θ 度/360。選擇正確的角度模式，可確保在套用這些關係式之前，數值角度已得到正確解讀。另有一份以弧度求扇形面積的分步推導，也能協助釐清為何計算式中會出現轉換。
在角度模式下計算扇形
- 開啟扇形面積計算器，找出半徑、圓心角、角度單位及計算控制項。
- 輸入正值且為有限值的圓半徑，並記下您使用的長度單位。解讀答案時，請保持該單位一致。零、負值、非有限值及極大的半徑皆不予接受。
- 輸入圓心角，並選擇度數作為單位。角度模式下的角度必須大於零且不得超過 360 度。以弧度表示時，對應上限為 2π 弧度。
- 選取計算扇形以套用度數轉換，並計算所需的量測值。
- 從結果中讀取扇形面積、對應的弧長及占整圓的百分比。請確認面積使用平方長度單位，而弧長使用原始半徑單位。
變更任一輸入項目都會清除先前的結果，避免將舊面積誤認為修訂後數值的答案。變更半徑或角度後，請再次執行計算。
正確解讀三項輸出
計算器顯示的內容不只有所要求的面積。這些輸出描述的是同一扇形的不同屬性，不應視為可以互換的量測值。
| 輸出 | 以度數為基礎的關係式 | 預期單位 |
|---|---|---|
| 扇形面積 | A = (θ/360) × πr² | 半徑單位的平方 |
| 弧長 | s = (θ/360) × 2πr | 原始半徑單位 |
| 占整圓的比例 | θ/360 | 以百分比顯示 |
在內部，計算器會以弧度角度搭配 A = ½θr²、s = θr，以及整圓比例 θ/(2π) 進行運算。這些形式與表中的度數形式等效。因此，角度模式是量測的一部分，而不僅僅是顯示偏好：在錯誤模式下輸入數字會改變其意義，而超過所選模式完整圓上限的角度則不予接受。
20 英尺、30 度的計算範例
OpenStax 的灑水器範例使用 20 英尺的半徑及 30 度的圓心角。將該角度轉換為弧度：30 × π/180 = π/6 弧度。
將轉換後的角度與半徑代入面積公式：A = ½ × π/6 × 20² = 100π/3，約為 104.72 平方英尺。
對於同一扇形，弧長為 s = π/6 × 20 = 10π/3 英尺。其占整圓的比例為 1/12，顯示結果約為 8.33333333333%。在角度模式下輸入原始半徑與度數，即可重現這些相關結果。
依賴結果前的準確性檢查
所有算術運算皆使用 JavaScript 雙精度數字在瀏覽器中執行。有限結果最多會格式化為 12 個有效位數，但任何涉及 π 或其他無限小數值的顯示小數皆為近似值，而非精確的符號結果。
- 檢查單位：計算器不會轉換量測單位。如果半徑以公分表示，預期面積會以平方公分表示，而弧長會以公分表示。
- 檢查模式：度數與弧度數值不能互換。請確保所選單位與圓心角的提供方式相符。
- 檢查兩個界限：半徑必須符合正值且為有限值的輸入規則，而圓心角必須維持在一個正向整圓的範圍內。
- 檢查公式：公式陳述會持續顯示在結果旁，方便稽核半徑、角度基準及扇形邊界。
- 檢查所需的精確度：對於營建、測量、加工、法律邊界或安全關鍵工程，請保留適當的有效位數，並使用該領域適用的專業方法與容許誤差驗證結果。
幾何形狀並非一般扇形時
圓形扇形由兩條半徑及其間的弧線圍成。外觀相似的幾何問題可能需要不同的輸入，因此使用結果前請先確認邊界。
| 問題 | 定義資訊 | 扇形面積計算器的適用範圍 |
|---|---|---|
| 一般圓形扇形 | 一個半徑及一個最大可達整圓的正圓心角 | 計算面積、弧長及占整圓的比例 |
| 圓弓形 | 一條弦及其兩端點之間的弧線 | 不計算 |
| 圓環扇形 | 內半徑、外半徑及圓心角 | 不計算 |
| 橢圓扇形 | 橢圓邊界及圓心角 | 不計算 |
| 超過一次旋轉的掃掠區域 | 大於整圓的優角 | 不計算 |
| 由弦與矢高求面積 | 弦長與矢高，而非半徑與圓心角 | 不計算 |
如果已知量測值描述的是上述其中一種不同幾何形狀，請改用相應方法，不要勉強套入一般扇形計算。對於所要求的度數計算任務，請記錄半徑及其單位，在角度模式下輸入圓心角，執行計算，並確認傳回的面積帶有平方單位，而弧長帶有原始長度單位。
如果您正在比較不同選項，如何由表面積求球體半徑對此有詳細說明。