圓扇形面積可用公式 A = ½θr² 求得，其中 r 為圓的半徑，θ 為以弧度 (radians) 測量的圓心角。當角度以度數 (degrees) 表示時，將度數轉換為弧度後（θ 弧度 = θ 度數 × π/180）即可套用同一公式，等價的寫法為 A = (θ°/360) × πr²。扇形是由兩條半徑與其間的弧所圍成的「派狀」區域，因此其面積與圓心角佔整個 2π 旋轉的比例成正比。直接使用該比例可得 A = (θ / 2π) × πr²，當 θ 已經以弧度表示時，可化簡為 ½θr²。相同的比例推理可得弧長 s = θr，以及佔圓比例 θ / (2π)，這正是這三個量總是一起出現的原因。由於三者皆源自同一個比例，你可以從單一計算中讀出面積、弧長，以及佔整個圓的百分比。
什麼是扇形，以及公式為何會長這樣
扇形是沿著從圓心到圓周的兩條直線切開圓後所得的其中一片。這兩條直線就是半徑，彎曲的外邊界則是連接其端點的弧。由於整個圓的面積為 πr²，而完整一圈的掃描為 2π 弧度，任何圓心角為 θ 弧度的扇形，都恰好佔該圓的 θ/(2π) 比例。將圓面積乘上該比例即可得到 A = ½θr²。同樣的邏輯可得出弧長 s = θr（佔整個圓周 2πr 的 θ/(2π) 比例）以及佔圓比例 θ/(2π)。這就是為何 扇形面積計算機 總是將這三個量並列顯示：它們描述的是同一個圓的同一塊區域，任何一個都可由另外兩個推導出來。
以度數與弧度表示的扇形面積公式
不論以弧度 θ 還是以度數 θ 表示公式，差別只在於前面的常數。以弧度表示時，公式最簡潔：A = ½θr²，弧長為 s = θr。以度數表示時，必須先轉換，或使用等價形式 A = (θ°/360) × πr² 以及 s = (θ°/360) × 2πr。轉換本身是精確的：θ 弧度 = θ 度數 × π/180，OpenStax《代數與三角學》中關於角度的章節 也確認了這一點。下表整理了兩種單位下的公式。
| 量 | θ 以弧度表示的公式 | θ 以度數表示的公式 |
|---|---|---|
| 扇形面積 | A = ½θr² | A = (θ°/360) × πr² |
| 弧長 | s = θr | s = (θ°/360) × 2πr |
| 佔整個圓的比例 | θ / (2π) | θ° / 360 |
三個公式在完整圓的極限下總是吻合：θ = 2π 弧度或 360° 時，會得到 A = πr²、s = 2πr，以及比例 = 1，這是一個快速驗算公式一致性的好方法。
如何逐步求出扇形面積
若使用計算機求扇形面積，你只需要一個正的半徑以及一個不超過一整圈的正圓心角。
- 輸入圓的半徑，使用統一的長度單位。單位可隨意選擇——英呎、公尺、公分、英吋皆可——但同一個問題中必須保持一致，因為面積會以該單位的平方表示，弧長則以該單位本身表示。
- 輸入圓心角，並告知頁面其單位是度數還是弧度。若為度數，請選擇「度數」；若已是弧度（例如 π/6 或 1.5708），請選擇「弧度」。
- 選擇「計算扇形」(Calculate sector)。頁面會回傳扇形面積、對應的弧長，以及扇形佔整個圓的百分比。
開啟扇形面積計算機，設定 20 英呎半徑與 30° 角度，即可重現本文稍後介紹的 OpenStax 灑水器範例。
單位、四捨五入與邊界規則
計算機會使用你所輸入的半徑單位，且不會進行單位轉換。以公分為半徑時，面積以平方公分呈現，弧長以公分呈現；以英呎為半徑時，面積以平方英呎呈現，弧長以英呎呈現。請勿將某個單位的半徑與另一個單位的預期結果混用，因為工具不會替你抓出這種錯誤。
所有運算皆透過 JavaScript 雙精度浮點數 (double-precision numbers) 在你的瀏覽器本地執行。顯示結果最多保留 12 位有效數字 (significant digits)，讓你在不被浮點雜訊淹沒的情況下，仍能讀到足夠的精度以利計算記錄。當精確答案涉及 π 或其他無理數 (irrational value) 時，所顯示的小數是精確形式的近似值；記錄答案時，你可能會希望將符號形式與數字並列保存。
輸入驗證會直接拒絕某些數值，以確保結果不會反映無意義的輸入。半徑為零或負數會被拒絕，非有限 (non-finite) 或極大的半徑也會被拒絕。圓心角必須大於零，且不得超過一整圈：在「度數」模式下為 360°，在「弧度」模式下為 2π 弧度。邊界測試確認，剛超過上限的角度以及非正的半徑都會被拒絕，而不會產生莫名其妙的數字。對於安全關鍵的工程、測量或法律工作，請保留適當的有效數字，並依據該專業領域的標準方法核對結果。
扇形 vs. 弓形、環形扇形與超過一整圈的掃描
扇形面積計算機專為「正」扇形（由不超過一整圈的正圓心角所掃出的扇形）而設計。它無法處理幾個看起來相似、但需要不同輸入與公式的形狀。請參考下表快速判斷這是否是符合你幾何需求的工具。
| 幾何形狀 | 是否在此計算？ | 你需要的是 |
|---|---|---|
| 正扇形（兩條半徑 + 弧） | 是 | 半徑與圓心角 |
| 圓弓形（弦 + 弧） | 否 | 半徑與弦，或弦與矢高 (sagitta) |
| 環形扇形（內外半徑） | 否 | 內半徑、外半徑、圓心角 |
| 橢圓扇形 | 否 | 半軸長與圓心角 |
| 超過一整圈的反射掃描 (reflex sweep) | 否 | 不同的幾何建構方式 |
如需弧度下的公式總覽與例題示範，請參閱 計算扇形面積與弧長：公式與步驟。
例題示範：30 度灑水器掃描
一個常見的教科書題目（取自 OpenStax）要求求出半徑 20 英呎、掃描角度 30° 的草坪灑水器所澆灌的面積。逐步手算如下：
- 將 30° 轉換為弧度：30 × π/180 = π/6。
- 代入弧度公式：A = ½ × θ × r² = ½ × (π/6) × 20² = ½ × (π/6) × 400 = 100π/3。
- 數值上，100π/3 ≈ 104.7197552 平方英呎。
同樣的輸入可得到弧長 s = θr = (π/6) × 20 = 20π/6 = 10π/3，約為 10.47197551 英呎；佔圓比例為 (π/6) / (2π) = 1/12，約 8.3333%。在扇形面積計算機中輸入半徑 20、角度 30，並選擇「度數」，即可一鍵重現上述三個數值。
若你手上的已知測量屬於不同的幾何形狀——例如一條弦與一個矢高，或環狀扇形的兩條半徑——請改用具備對應功能的工具，而非勉強套用扇形公式。
延伸閱讀：如何由直徑計算球體表面積。