在 100 到 200 之間恰好有 21 個質數，而最快列出它們的方法，就是把 N = 200 輸入到一個以埃拉托斯特尼篩法為基礎的產生器中，例如質數產生器，它會回傳完整清單以及質數總數、所有質數的總和、以及找到的最大質數。所謂質數，是指任何大於 1、且其唯一因數只有 1 和本身的整數，因此 100 和 200 本身都不符合資格，而滿足 100 < p ≤ 200 的每一個質數 p 都會被計入。「21 個質數」這個答案是數論中最常被引用的課本事實之一——它一字不差地出現在 CMAT 2017 入學考試的第 83 題——同時它也是快速驗證任何質數產生器是否正常運作的簡便方法。透過這個工具，你還能一鍵確認周圍的錨點:100 以下有 25 個質數(第 25 個質數為 97)，而 100 之後的下一組 21 個質數則一路延伸到略低於 200。下面的章節會逐步說明「質數」的真正含義、產生清單的逐步做法、底層演算法，以及這個特定範圍之所以在作業、入學考試和程式練習中反覆出現的實際原因。
什麼算是質數
在向工具詢問 100 到 200 之間的質數之前，先把定義釐清會有幫助。質數是指一個大於 1，且恰好有兩個不同因數(1 和它本身)的整數。最小的質數是 2，它同時也是唯一的偶數質數，因為其他所有偶數都能被 2 整除。數字 1 不是質數——它只有一個因數——而 0 不是質數，因為它沒有任何滿足定義的因數，而且小於 2。
對於 100 到 200 這個範圍，可以直接推出兩個結論。任何以 0、4、6 或 8 結尾的數都是合數，這樣就能在不進一步運算的情況下淘汰超過一半的候選數。任何以 5 結尾的候選數都是 5 的倍數，因此不是質數，其中 5 本身是唯一以 5 結尾的質數。經過這輪快速篩選後，只剩下以 1、3、7 或 9 結尾的數可能是質數，而剩下唯一要做的事，就是檢查是否有任何更小的質數可以整除它們。這正是埃拉托斯特尼篩法自動執行的過濾動作，而同一個過濾動作也正是驅動質數產生器的核心。
使用工具產生 100 到 200 之間的質數
- 在瀏覽器中開啟質數產生器。
- 選擇「Primes up to N」模式，讓工具列出到達你所輸入上限的所有質數。
- 在輸入框中輸入 200——這樣就能涵蓋 100 到 200 範圍內的每一個質數。
- 點擊 Generate primes，或直接按下 Enter 鍵。
- 閱讀完整清單與清質數、所有質數的總和，以及工具顯示在清單旁邊的最大質數。
- 如果想把清單貼到文件或試算表中，點擊複製按鈕即可。
每一步都在瀏覽器中執行，因此不會上傳到任何伺服器，沒有排隊，也沒有每日使用次數限制。在「Primes up to N」模式下，工具接受最高 N = 10,000,000 的數值，這表示你也可以擴大或縮小範圍——例如試試 N = 150 只看下半段，或 N = 300 看質數如何進一步變稀疏——而不必離開頁面。
埃拉托斯特尼篩法如何建立清單
質數產生器是建立在埃拉托斯特尼篩法之上，這個演算法也正是課本題目要求學生手動執行的演算法。概念很簡單:從 2 開始，把你上限以內的所有整數依序寫下來。第一個數字 2 是質數，所以劃掉所有 2 的倍數。接著移到下一個尚未被劃掉的數字 3，將它標記為質數，並劃掉它其餘的倍數。再依序處理 5，然後 7，以此類推，直到抵達上限的平方根為止。經過這一輪篩選後所剩下的數，由於沒有更小的因數，因此都是質數。
到 30 為止的演算範例。從整數 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30 開始。將 2 標記為質數，並劃掉它的倍數:4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30。接著移到下一個倖存者 3，將它標記為質數，並劃掉它其餘的倍數——9、15、21、27。下一個倖存者是 5;將它標記為質數，並劃掉 25，也就是它在 30 以下唯一剩下的倍數。由於 √30 ≈ 5.48，篩法到此便可以停止。這 10 個倖存者——2、3、5、7、11、13、17、19、23、29——正好就是 30 以下的質數，符合「10 個質數」的錨點。以同樣的程序執行到 200，就能在不對任何數字進行試除的情況下，得到 100 到 200 之間的 21 個質數。這個演算法的執行時間大約是 O(n log log n)，這也是為什麼瀏覽器能在不到一秒的時間內，將數百萬的數字完成篩選。
為什麼 100 到 200 這個範圍如此常見
100 到 200 這個區間是數論作業的基本題，因為它剛好跨越最初的 25 個質數——這是每個初學者練習的自然上限——而且在質數開始明顯變稀疏之前就停了下來。它小到可以在合理時間內以手動檢查，又大到足以迫使學生跳過明顯的候選數(以 0、4、6 或 8 結尾的數)，進入真正有趣的 1、3、7、9 餘數類別。
除了課本之外，同一個區間也出現在入學考試中。CMAT 2017 第 83 題問考生 100 到 200 之間有多少個質數，官方認可答案是 21，類似的題目在英國、IB 和印度課程體系中反覆出現。程式設計師在需要確定性的測試資料、雜湊表種子或 Project Euler 暖身題時，也會碰到同一個範圍:這個範圍內固定的 21 個質數這份短清單，足以用來壓力測試小型質數判定程式，而不必動用到前 1,000 個質數的全部。
如果你的下一步是把這個範圍內的合數分解成因數——例如檢查為什麼 119、143 或 161 不是質數——質因數分解計算機能以完整的因數樹處理這項工作。對於更大的範圍，質數產生器仍然是最快的途徑，因為它可以一路篩選到 10,000,000，或依需求取出前 100,000 個質數。
用於驗證任何清單的實用質數錨點
人們重新執行質數清單最常見的原因，是為了再次確認自己的成果是否正確。下表彙整了可在幾秒內用來對任何質數產生器——包括本工具——進行健全性檢查的錨點數值。
| 錨點 | 數值 |
|---|---|
| 100 以下的質數 | 25(最大的為 97) |
| 30 以下的質數 | 10 |
| 第 25 個質數 | 97 |
| 第 100 個質數 | 541 |
| 第 1000 個質數 | 7919 |
| 第 10,000 個質數 | 104,729 |
| 第 100,000 個質數 | 1,299,709 |
| 「Primes up to N」模式的最大 N | 10,000,000 |
| 「First N primes」模式的最大 N | 100,000 |
這些數值都能一鍵取得:開啟質數產生器，切換到「First N primes」，輸入 25、100、1000、10000 或 100000，工具就會回傳對應的質數。質數定理指出，n 以下的質數個數大約等於 n 除以 n 的自然對數，這說明了為什麼質數會隨著數字變大而逐漸變稀疏，但永遠不會用盡——歐幾里得已經證明質數有無限多個——而像孿生質數(11 與 13，或 17 與 19)這樣的有趣現象，即使深入數線之中也持續出現。
想看更詳細的介紹，請參閱質因數分解方法:工具、樹狀圖與步驟。
想看更詳細的介紹，請參閱如何輕鬆找出質數而無需試除法。