要把一個數字轉換成 5 進位（也稱為五進位），你反覆將十進位值除以 5，記錄每次的餘數（一定是 0、1、2、3 或 4 其中之一），然後由下往上讀取這些餘數——這串由下往上的數字就是你在 5 進位下的答案。例如，把十進位的 137 轉換成 5 進位需要四個除法步驟，並得到 1022₅，因為 1×125 + 0×25 + 2×5 + 2×1 = 137。相同的概念反方向也適用：要把像 304₅ 這樣的 5 進位字串解讀出來，你將每位數字乘以它的位值（5 的次方：125、25、5、1），然後把結果加起來。5 進位系統屬於一個更廣泛的位置記數系統家族，其中包括二進位（base 2）、八進位（base 8）、十進位（base 10）和十六進位（base 16）；它們之間只有相異數字的數量以及每位位值的大小不同。只要學會這個「除法取餘數」的技巧，就足以徒手處理任何轉換，而這個演算法正是轉換工具在你要求它顯示 5 進位數值時內部執行的流程。
5 進位（五進位）真正會出現的地方
五進位是人類使用過最古老的記數系統之一，因為用一隻手的手指來數數自然會得到五。許多傳統的計數系統——包括馬雅的二十進位（base 20，由 4 根手指 × 5 根腳趾構成）以及若干非洲和南美洲語言——都將它們的累計方式以 5 為單位分組。現代運算很少以 5 進位儲存資料，因為每顆晶片都是圍繞著只能在兩個狀態間切換的位元來設計的，但 5 進位仍會出現在下列情境：
- 數論謎題與奧林匹亞題目，要求寫出像 137、293 或 651 等數字的 5 進位表示法。
- 研究人員嘗試作為二進位替代方案、用於容錯硬體的非典型位置記數系統。
- 課堂教學中，5 進位是個簡潔的範例：它的位數比二進位多但比十進位少，讓「除法取餘數」演算法容易跟上，又不會把草稿紙寫滿。
- 遺傳密碼與密碼子表格，把 64 組三字母密碼子（4×4×4）整理成 5 或 4 的區塊以便於精簡顯示。
因此學習 5 進位確實有用——它不是日常工具，而是通往 base 2、base 8、base 16 或你之後會遇到的任何進制的踏腳石。所有進制的轉換方法完全相同，只有除數和位值的步進會改變。
徒手將十進位數字轉換成 5 進位
從十進位到 5 進位經典的紙筆演算法就是除法取餘數演算法。你持續把數字除以 5，寫下餘數，再用商作為下一輪的被除數。當商變成 0 時停止，接著從你列出的餘數由下往上讀取。
實際範例：把十進位的 137 轉換成 5 進位。首先 137 ÷ 5 = 27，餘 2。拿這個商再除一次：27 ÷ 5 = 5，餘 2。繼續：5 ÷ 5 = 1，餘 0。再一步：1 ÷ 5 = 0，餘 1。到此停止，因為商已經變成 0。
由下往上讀取餘數，就得到 1022₅。做個快速的健全性檢查，把答案展開驗算：1×125 + 0×25 + 2×5 + 2×1 = 125 + 0 + 10 + 2 = 137，與原始數字相符。
徒手執行時有幾個實用訣竅：
- 每一步的餘數必須落在 0–4 的範圍內。如果你算出 5 或更大的餘數，就是算術出了錯——回去重新做除法。
- 別漏掉最後一個餘數。商變成 0 的那一步仍會產生一個餘數，而那個餘數就是你 5 進位答案的最前（最左）一位。
- 處理很大的十進位數字時，把餘數寫在右邊一欄、商寫在左邊一欄，這樣整個過程一目了然。
把 5 進位數字讀回十進位
反方向使用的是位置展開。5 進位數字中，每個位置代表 5 的某個次方：最右邊是個位（5⁰），再來是 5 位（5¹），然後是 25（5²）、125（5³）、625（5⁴），依此類推。把每位數字乘以它的位值，再把全部加起來。
舉例來說，304₅ = 3×25 + 0×5 + 4×1 = 75 + 0 + 4 = 十進位的 79。5 進位數字中出現的 0 仍然是 0——它只是把位置佔住，就像十進位的 105 中的 0 一樣。而前綴的負號會原樣保留：−304₅ 就是 −79。
使用數字進位轉換器來完成
當數字大到無法徒手做除法，或你只是想要立即得到答案時，數字進位轉換器能在你的瀏覽器中一次處理整個工作。具體操作步驟如下：
- 把你想轉換的完整數字輸入到數值欄位中——字母不分大小寫，也允許前綴負號。如果是十進位轉 5 進位的工作，直接輸入你的十進位數字（例如 137）；只有當來源進位大於 10 時才會出現字母。
- 選擇數字所屬的 '來源進位'——從 137 出發時設成 十進位——然後挑選你要的 '目標進位'（五進位就是 5）。
- 立刻讀出轉換結果，同時一併顯示常見四種進位下的數值——二進位、八進位、十進位與十六進位——這樣你可以同時用每個標準系統對照驗證你的手算結果。
這個工具底層使用任意精度運算，因此就算是數千位數的數字也能精準轉換而不會四捨五入。它完全在用戶端執行，所以處理的任何數字都不會離開你的裝置。
5 進位轉換的常見陷阱
大多數 5 進位的錯誤都落入以下三種陷阱之一。
1. 使用了不合法的數字。5 進位數字只能包含 0、1、2、3 與 4。一旦 5、6、7、8 或 9 偷渡進來，這個值就不再是合法的 5 進位字串。嚴格的轉換器會把違規字元標示出來，而不是靜悄悄地給你一個錯誤答案——數字進位轉換器對每個字元都嚴格檢查，並精準回報是哪個數字被拒絕。
2. 餘數讀取方向錯誤。除法取餘數法產生的位數順序是相反的，所以必須由下往上讀。如果你由上往下讀，位數就會顛倒——以 137 為例，你就會寫成 2201₅ 而非 1022₅，而 2201₅ 是個完全不同的數值（等於十進位的 301，而非 137）。
3. 忘記 5 進位的位值是 5 的次方，而不是 10 的次方。把 5 進位字串展開回十進位時，初學者有時會誤用 1、10、100、1000……而非 1、5、25、125……，結果得出錯誤的總和。請務必再次確認你所乘的位值由右至左依序為 5⁰、5¹、5²、5³、…… 。
5 進位與其他常見進位的比較
下表顯示 5 進位在你最常遇到的進位中處於什麼位置。請注意，轉換到 5 進位或從 5 進位轉出的程序，結構上和任何其他進位的轉換完全相同——只有（轉往新進位時的）除數，或（轉回時的）位值步進會改變。
| 進位 | 名稱 | 使用的數字 | 位值 | 常見場合 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 二進位 | 0, 1 | 1, 2, 4, 8, 16, 32… | 所有數位硬體的原生語言（位元、位元組、遮罩） |
| 5 | 五進位 | 0, 1, 2, 3, 4 | 1, 5, 25, 125, 625… | 教學範例、歷史計數系統、數論謎題 |
| 8 | 八進位 | 0–7 | 1, 8, 64, 512… | Unix 檔案權限（chmod 755）、舊式運算 |
| 10 | 十進位 | 0–9 | 1, 10, 100, 1000… | 日常算術與人類計數 |
| 16 | 十六進位 | 0–9, A–F | 1, 16, 256, 4096… | 記憶體位址、位元組值、CSS 顏色代碼如 #FF8800 |
如果你想看同一套「除法取餘數」概念應用在稍小的進位上，如何把數字轉換成 3 進位（三進位）這篇教學使用幾乎完全相同的步驟。而反方向——把像 304₅ 這樣的 5 進位字串轉成單純的十進位數值——則在如何在數秒內把數字改成 10 進位有詳細說明。