複數 a + bi 的絕對值是 √(a² + b²)，也就是複數平面上從原點到點 (a, b) 的直線距離。這個量也稱為該複數的模數，寫作 |a + bi| 或 |z|。其結果必定是非負實數，因為公式會將實部 a 與虛部 b 各自平方後再加總並開平方根；平方會去除任何正負號，而主平方根會回傳非負的根。因此對 z = 3 + 4i 而言，可得 |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。對 z = -3 - 4i，答案相同：|-3 - 4i| = √((-3)² + (-4)²) = √25 = 5。這兩個點透過原點彼此互為鏡像，因此與原點等距。同一規則也涵蓋純實數的輸入：當 b = 0 時，|a| = √(a² + 0²) = |a|，也就是你在實數線上已熟悉的絕對值。
|a + bi| 的公式
每個複數 z 都可以寫成 a + bi 的形式，其中 a 是實部，b 是虛部。絕對值（也稱為模數）定義為複數平面上從 z 到原點 (0, 0) 的距離，依據畢氏定理即為：
|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
關於這個公式，有三點值得注意：
- 使用的是 a + bi，而非 (a, b)——虛數單位 i 只是一個標記，實際運算是對實數 a 與 b 進行。
- 即便輸入的 z 是複數，其結果必定是實數。
- 當 b = 0 時，它會化簡為實數的絕對值，因為 √(a² + 0²) = √(a²) = |a|。
幾何意義：與原點的距離
將任意複數 z = a + bi 標示為平面上的點，實部 a 在水平軸上，虛部 b 在垂直軸上。z 的絕對值就是從該點回到原點的直線長度。直角三角形的水平邊長為 |a|，垂直邊長為 |b|，斜邊長則為 √(|a|² + |b|²) = √(a² + b²)。這正是將畢氏定理套用於由 z、其在實軸上的投影，以及原點所構成的三角形。
這個幾何圖像最容易說明公式為何絕不會產生負值。長度不可能是負的，而非負數總和的平方根也不可能為負，因此對每個複數 z 而言，都有 |z| ≥ 0。唯一絕對值為零的複數就是 0 + 0i 本身，也就是正好位於原點的那個點。
如何計算複數的絕對值
依照下列步驟，即可求出任意複數的 |a + bi|：
- 將該數寫成標準形式 a + bi。對 z = 3 + 4i，a = 3，b = 4。對 5i，寫成 0 + 5i，因此 a = 0、b = 5。對 -7，寫成 -7 + 0i，因此 a = -7、b = 0。
- 將實部平方得到 a²。直接照寫的 a 之正負號代入，因為平方會消除它。對 a = 3，a² = 9。
- 將虛部平方得到 b²。對 b = 4，b² = 16。
- 將兩個平方相加。a² + b² = 9 + 16 = 25。
- 對總和取主（non-negative）平方根。√25 = 5，因此 |3 + 4i| = 5。
上述各個算術運算都是實數運算，可使用 絕對值計算機來再次確認這些數值。將任一中間實數結果輸入到輸入欄，即可從結果面板直接讀出 |x|——例如輸入 25 以確認 25 的絕對值為 25，這與最終答案 5 的平方相符。
計算範例：|3 + 4i| = 5
取 z = 3 + 4i。其實部為 a = 3，虛部為 b = 4。代入模數公式：
|3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
從幾何上來看，點 (3, 4) 與原點構成一個 3-4-5 的直角三角形，因此它到原點的直線距離為 5 個單位。若同時改變兩部分的正負號得到 -3 - 4i，因為正負號會在平方步驟中消失，公式仍會給出相同答案：|-3 - 4i| = √(9 + 16) = 5。若僅改變其中一部分的正負號——例如 3 - 4i 或 -3 + 4i——結果依然是 5，因為 a² 和 b² 並未改變。
若要使用工具再次驗算，將 9 輸入絕對值計算機，確認答案為 9（這是實部的貢獻）。接著對 16（虛部的貢獻）和 25（開平方根前的總和）重複同樣的步驟。這三個值都會原樣回傳，因為它們都是非負實數，而最終的主平方根 √25 為 5。
複數模數的常見用途
複數絕對值是在使用複數的領域中表示大小（magnitude）的標準方式。以下是幾個領域的使用情形：
| 領域 | |z| 所測量的是 |
|---|---|
| 電機工程（交流電路） | 負載的阻抗大小 |Z|，即對交流電的有效電阻 |
| 訊號處理 | 在單一樣本上，複數值訊號的振幅，在傅立葉分析中相當實用 |
| 量子力學 | 狀態向量中，機率振幅的大小 |
| 電腦繪圖 | 2D 向量的長度，在數學上等同於複數模數 |
| 控制理論 | 轉移函數的大小，繪製時即為波德大小圖（Bode magnitude plot） |
在上述每個領域中，公式都相同：將實部平方、將虛部平方、相加，再取非負平方根。絕對值計算機負責處理實數這一部分的運算——也就是平方與絕對值的檢查——讓你可以把虛數單位的簿記與算術分開處理。
值得記住的有用性質
實務上常會遇到複數絕對值的三個性質：
- |z| 絕不會為負。因為它代表距離，所以對每個複數 z 都有 |z| ≥ 0，且只有當 z = 0 時，|z| = 0。
- |z| = |-z|。同時將兩部分變號不會影響平方結果，因此模數保持不變。
- |z| = |z̄|。複數共軛具有相同的實部大小與虛部大小，因此其模數等於原數。以 3 + 4i 為例，其共軛為 3 - 4i，兩者的模數皆為 5。
關於實數的情況——包括 |ab| = |a|·|b| 與 |a + b| ≤ |a| + |b| 等規則——請參考我們的任意數絕對值計算指南。複數模數將相同的概念延伸至二維，把實數線上的一維距離換成複數平面上的二維距離。
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