分數不確定度等於測量的絕對不確定度除以測量值本身，可寫成簡潔的比例 Δx ÷ x，其中 Δx 是絕對不確定度，x 是測量值。因為兩個數字在計算過程中上下疊在一起，所以即使輸入是小數，結果也是一個分數，這就是為什麼當需要把好幾個這類比例合併時，分數計算機是最自然的工具。同一概念也稱為相對不確定度，而這個比例是無因次的：一個 25.0 cm 的長度，絕對不確定度為 ±0.2 cm，得到的分數不確定度為 0.2 ÷ 25.0 = 0.008，完全沒有附帶單位。
分數形式最大的優點在於它能讓你把差異極大的測量精度放在同一個尺度上比較——例如一個小電壓和一段長距離。它也讓誤差透過公式傳遞變得簡單許多，因為大部分物理學中合併誤差的法則都可以化約成對這些比例的相加、相乘或相除。本指南會逐步說明定義、從頭到尾展示一個完整的計算範例，並清楚解釋在什麼情況下分數計算機能省下算術時間。
分數不確定度：定義與公式
符號 Δx 代表絕對不確定度，也就是儀器上最小刻度的大小，或單次置放時估計的讀值誤差。測量值 x 則是你實際記錄下來的數字。因此分數不確定度即為：
分數不確定度 = Δx ÷ x
以單次使用尺測量 25.0 cm、絕對不確定度 ±0.2 cm 為例，比值為 0.2 ÷ 25.0 = 0.008。唸出來就是「一千份中的八份」，無論原始測量是以公分、英寸或公尺為單位，數值都完全相同——因為單位同時出現在比例的分子與分母而互相抵消。
物理課本與實驗手冊中會出現三個相關的形式，它們描述的都是同一個量：
- 分數不確定度——原始的比例 Δx ÷ x。
- 相對不確定度——同一比例的同義詞，常見於較早期的物理課本與工程手冊。
- 百分比不確定度——比例乘以 100 並加上 % 符號。
以 25.0 cm 這個例子來說，百分比不確定度為 0.008 × 100 = 0.8%。25.0 ± 0.2 cm 與 2.50 ± 0.02 m 這兩個測量的分數不確定度同樣是 0.008，即使兩者的絕對不確定度在數值大小上看起來差異很大。這正是每門測量課程都先把分數形式擺在前面教的原因。
計算範例：用尺測量長度
假設你用一支標準的公尺尺來量一張木質長凳的長度，尺上最小的刻度是 1 mm，而單次置放的典型讀值不確定度是它的一半——±0.5 mm，也就是 ±0.05 cm。你記錄下來的讀值是 142.4 cm。
步驟 1——寫下絕對不確定度。Δx = ±0.05 cm。
步驟 2——寫下測量值。x = 142.4 cm。
步驟 3——相除。分數不確定度 = 0.05 ÷ 142.4 = 0.0003511...
步驟 4——如果報告需要，轉換成百分比。0.0003511 × 100 = 0.03511%，四捨五入為 0.04%。
最終結果：142.4 cm，分數不確定度約為 3.5 × 10⁻⁴，或百分比不確定度約為 0.04%。因此這張長凳的長度精確到兩千分之一以內，因為 1/2000 = 0.0005，而計算出的分數不確定度比它還小。
分數不確定度在實驗室中何時重要
當你只在意單一測量在其本身單位中的散布時，絕對不確定度很方便。但只要碰到下列情況，就應該採用分數不確定度：
- 比較兩個大小不同的測量——在把兩者都化成無單位的比例之前，直接寫出 25 cm 長度的 ±0.2 cm 與 2.5 m 長度的 ±0.2 cm 是沒有意義的。
- 把誤差透過公式傳遞——本文後段涵蓋的傳遞法則只有在分數形式下才能乾淨地運作。
- 向期刊或考官提交結果——A-level、IB 與大學一年級的大部分評分標準，都要求最後一行寫出百分比不確定度。
- 判斷一台儀器是否「夠用」——一部 £5 碼錶得到的 1% 分數不確定度，與一部 £5,000 頻率計上的 1% 分數不確定度，本質上是截然不同的。
比例的無因次特性也讓它能安全地帶入多步驟的計算中。如果你測了電流和電壓並想得到電阻，答案中的分數不確定度是由輸入項的分數不確定度所構成，而非任何絕對值，並且在單位換算的過程中都能保持不變。
如何使用分數計算機處理算術
只要不確定度計算的輸入本身已經寫成比例——例如兩個各自產生相對誤差的子測量——那麼算術本身就是分數算術。這個免費的分數計算機能處理這類比例的四則運算，並同時回傳化簡後的結果與逐步計算過程。要把它用在不確定度問題上，請依下列步驟操作。
- 把第一個分數不確定度的分子（上）與分母（下）輸入第一個分數欄位。舉例來說，若絕對不確定度為 1 cm、測量值為 50 cm，就輸入 1 over 50。
- 從下拉選單中挑選運算——+、−、× 或 ÷——再輸入第二個分數的分子與分母。當你合併來自獨立來源的分數不確定度時用 +；當底層公式對測量量進行乘除時，則用 × 或 ÷。
- 化簡後的分數、帶分數與小數會立刻顯示在下方，並附上逐步計算過程。無需按送出鍵。小數欄位對有限小數是完全精確的，對像 1/3 這種循環小數也會清楚標示為近似值，因此合併後不確定度的相對大小可以一眼讀出。
因為計算機全程以整數執行每一步，只在最後用歐幾里得演算法約分，所以不會產生浮點飄移——三個 1/3 連加不會突然變成 0.9999999。如果最後想要百分比不確定度，把工具顯示的小數值乘以 100 即可。
分數不確定度 vs 百分比不確定度 vs 絕對不確定度
| 形式 | 定義 | 單位 | 最適用於 |
|---|---|---|---|
| 絕對不確定度 (Δx) | 以原始單位表示的讀值或儀器誤差 | 與測量值相同 | 回報單一測量值、加減量 |
| 分數不確定度 (Δx ÷ x) | 絕對不確定度與測量值的比例 | 無因次 | 比較測量之間的精度、傳遞誤差 |
| 百分比不確定度 | 分數不確定度 × 100 | 百分比 (%) | 最終答案的呈現與大多數考試評分標準 |
這三種形式描述的是同一份資訊；在它們之間轉換只需一次乘除。25.0 cm 讀值的分數不確定度 0.008 同時也是 0.8% 的百分比不確定度，以及 ±0.2 cm 的絕對不確定度，因此選用哪一種形式，其實取決於你在為什麼樣的讀者撰寫。
在計算過程中傳遞分數不確定度
分數不確定度在每一門測量課程中都比絕對或百分比形式更早被教，原因是只要採用比例，傳遞法則就化為簡單的相加與平方。當結果是測量量的乘積或商時，分數不確定度以平方和的方式合併：
若 z = a × b 或 z = a ÷ b，則 (Δz ÷ z)² ≈ (Δa ÷ a)² + (Δb ÷ b)²。
對於和或差，法則又回到絕對不確定度，這也是為什麼計算中有時需要中途轉回絕對形式。z = a + b 的經驗法則是 Δz = √(Δa² + Δb²)；之後再除以 z 即可回復為分數形式。對單一冪次 z = aⁿ，法則更為簡短：分數不確定度乘以 n，所以 (Δz ÷ z) = n × (Δa ÷ a)。
這正是分數計算機能發揮價值的地方。假設兩個子測量得到的分數不確定度分別是 1/50 與 1/75——把這兩組數字以 × 運算輸入工具，即可得到最簡分數的乘積、分子較大時的帶分數，以及你所需要精度的小數。接著再以手算或工程計算機開平方，就可得到最終答案的合併相對誤差。對於任何正在撰寫實驗紀錄本，或在學校與大學階段解物理題的人來說，模式永遠相同：測量、轉成分數形式、以平方和合併，再於最後一行轉回百分比。