兩點之間的平均變化率，等於輸出值的總變化量除以輸入值的總變化量：(f(b) − f(a)) / (b − a)。它告訴你的是一個函數在某個區間內的平均斜率，或是一趟旅程的平均速度。當你只有兩個點時，只要一次除法就能直接算出來；公式就是 y 的變化量除以 x 的變化量，這同時也是連接這兩點的直線的斜率。當你在許多區間中測得許多個變化率時——每日速度、每月營收成長、每週氣溫變化、逐年人口變動——你要取的是這些個別變化率的平均值，這正是免費的Average Calculator 在你輸入的同時即時算出的結果。同一個工具也會回傳你這組變化率資料的中位數與眾數，讓你在正式公布這個數字之前，能快速確認是不是有離群值把平均值拉偏了。
平均變化率究竟代表什麼
從核心來看，平均變化率就是一個比值。在曲線上取兩個點，標記為 (a, f(a)) 與 (b, f(b))，再用垂直變化量除以水平變化量：
平均變化率 = (f(b) − f(a)) / (b − a)
這個單一數字，就是連接這兩點的直線的斜率。它回答的是一個問題：「平均來說，在這兩個端點之間，輸入每變化一個單位，輸出會變化多少？」
這個說法背後其實隱藏著一個在實務上很重要的小小歧義。有些人指的是好幾個不同變化率的平均值——每個區間各算一個——也有些人指的是一個序列中，第一個點與最後一個點之間的單一變化率。這兩種用法都合理，也都可以用同一個工具來驗證。單一區間的算法只用兩個點；多變化率平均的算法，則是對許多較小區間取平均值。上面那個公式適用於單一區間的情況，而平均值則適用於多區間的情況。
一個區間 vs 多個區間：兩種不同的意義
假設你連續五天，在每天結束時記錄里程表讀數，記下了 10、25、45、80、100 英里。接下來會出現兩個都合理的問題。
問題 A——單一區間。 「我從第 1 天到第 5 天的平均速度是多少？」你把第一筆和最後一筆讀數當成兩個端點。總行駛距離是 100 − 10 = 90 英里，總經過時間是 5 − 1 = 4 天，平均變化率是 90 / 4 = 22.5 英里／天。這個答案，就是從 (1, 10) 到 (5, 100) 這條線的斜率。
問題 B——多個區間。 「如果把每一天的騎行都當成獨立的一個區間，我每天的平均速度是多少？」你要先算出每個區間各自的變化率：15、20、35、20 英里／天。接著再取這四個變化率的平均值。總和是 90，個數是 4，平均變化率是 90 / 4 = 22.5 英里／天。
在完全線性的變化中，這兩個答案是一致的。但在有起伏、有波動、有離群值的真實資料中，這兩個答案通常會不一樣。單一區間的數字，會掩蓋中間發生的任何事情；而多變化率平均的數字，則會把它們揭露出來。
如何平均你的多個變化率
- 先決定你要平均的是哪些數字。以上面的問題 A 為例，你平均的是兩個端點。以問題 B 為例，你平均的則是你已經算好的每個區間的變化率。兩者都可以輸入到同一個 Average Calculator 中。
- 把這些數值列成單獨一欄或一行，用逗號、空格或換行分隔。小數與負數都可以直接使用，1.2e3 這樣的科學記號也能接受。
- 把這份清單貼上或輸入到計算機的輸入框中。結果會隨著你輸入即時更新——不需要按送出按鈕。
- 查看即時更新的平均值。以你每個區間的變化率來說，這個平均值就是所有區間的平均變化率。
- 瀏覽一下中位數與眾數。如果中位數明顯低於平均值，代表有一個離群的區間把平均值往上拉；這時可以改為呈報中位數，或是兩者都呈報，並附上一句說明。
- 點選「複製」即可取得完整摘要——平均值、中位數、眾數、總和、個數、最小值、最大值與範圍——用於你正在填寫的報告或試算表。
針對變化率資料，該選平均值、中位數還是眾數
變化率資料會依據背後的過程不同，而表現出不同的特性。一位每天檢查一整個月通勤時間的通勤者，通常會看到大致對稱的分布，這時平均值就很誠實。一位在一段馬拉松訓練期間記錄每英里配速的跑者，往往會有一兩次訓練因天氣或受傷而表現失常，這時中位數會比平均值更具代表性。一家在促銷週測量每週來客量變化的店家，通常關心的是哪個變化量最常出現，這正是眾數。
| 統計量 | 它回答的問題 | 在什麼情況下最適合用來呈現變化率資料…… |
|---|---|---|
| 平均值 | 把每一個數值都納入考量後，典型的變化率是多少？ | 資料大致對稱、且沒有極端值時，例如一個正常月份的平均每日通勤時間。 |
| 中位數 | 把數值排序之後，位於中間的變化率是多少？ | 有一兩個區間表現異常時，例如一份配速清單中，某一次是恢復性慢跑。 |
| 眾數 | 哪一個變化率出現得最頻繁？ | 你想知道最常出現的變化率是多少，例如在一段穩定期間內，最常見的週對週銷售變化量。 |
| 範圍 | 最小與最大的變化率之間相差多少？ | 你需要快速掌握波動程度時，例如某項指標每週的變化有多劇烈。 |
當平均值與中位數相近時，代表資料相對平衡，兩者你都可以引用。當平均值明顯高於中位數時，代表有幾個較大的區間把平均值拉高了；這就是你該在報告中改用中位數的訊號。
實際範例：五天的平均每日速度
延用上面五天的騎行紀錄：10、25、45、80、100 英里。每個區間的變化率分別是 15、20、35、20 英里／天。把這四個數字貼進 Average Calculator，就能看到結果：
總和 = 15 + 20 + 35 + 20 = 90。個數 = 4。平均值 = 90 / 4 = 22.5 英里／天。
把這四個變化率排序成 15、20、20、35 之後，中位數是中間兩個值的平均：(20 + 20) / 2 = 20 英里／天。眾數是 20 英里／天，因為 20 出現了兩次，而其他每個變化率都只出現一次。
平均值（22.5）與中位數（20）相差 2.5 英里／天。這個差距不大——落在正常日常變動的範圍內——所以把 22.5 英里／天的平均值，當作這一週的平均變化率來呈報是誠實的。如果第六天因為生病而只記錄到 5 英里／天，中位數幾乎不會移動，平均值卻會明顯下降，這正是教科書上「中位數是更好的摘要指標」的典型訊號。
快速看懂計算機的輸出結果
每當輸入內容改變時，Average Calculator 都會回傳八個數字，每一個都能告訴你這組變化率資料的不同面向：
- 平均值 ——你最主要的平均變化率，等於總和除以個數。
- 中位數 ——中間的變化率，不容易被單一離群值影響。
- 眾數 ——最常出現的變化率；如果每個變化率都只出現一次，就會顯示「無」。
- 總和 ——所有變化率的加總，可用來快速核對平均值是否合理。
- 個數 ——總共平均了多少個變化率。
- 最小值 ——這組資料中最慢的區間。
- 最大值 ——這組資料中最快的區間。
- 範圍 ——最大值減最小值，可以快速估計波動程度。
所有運算都在你的瀏覽器中完成，所以即使是很長的清單也能立即算出結果，而且不會有任何資料離開這個頁面。如果你貼上的一整欄資料中混有標籤文字或單位，這個工具會跳過這些非數字項目，並回報它忽略了幾筆，所以一個打字錯誤永遠不會把結果搞壞。