n 次方根是指將某個數提升至整數次方 n 後，能還原為原本的被開方數 — 例如，32 的 5 次方根是 2，因為 2 的 5 次方等於 32。若要計算一個根，您需要提供兩個數值:被開方數(根號下的數)以及整數次方 n(根的指數)，計算機便會回傳主要的實數 n 次方根。對於非負的被開方數，主要根為非負值;對於負的被開方數，僅在 n 為奇數時存在實數結果。根號計算機可處理 2 到 100 之間的整數次方，顯示最多十二位有效數字，並包含一項反向驗證，可將結果再次提升至所選次方，讓您無需離開瀏覽器即可確認答案。
其一般定義相當直接:若 b 的整數 n 次方等於 a，則 b 即為 a 的 n 次方根。當 b 的 n 次方等於 a 這個方程式有一種以上解法時，被開方數可能擁有多個實數根 — 最常見的情況發生在偶數次方時，正值與負值皆能滿足該方程式。然而，根號符號始終代表主要根，亦即非負被開方數所對應的非負值，以及負被開方數在奇數次方下所對應的唯一實數值。此慣例在標準代數參考資料中皆一致，包括 OpenStax Elementary Algebra 中關於高次方根的章節，以及 OpenStax College Algebra 中關於根號與有理指數的章節。
根號計算在數學上如何運作
每次根號運算背後的關係式皆為 b 的 n 次方等於 a。一旦選定被開方數 a 以及正整數次方 n，計算機便會搜尋滿足「自行相乘 n 次後等於 a」的 b 值。主要根最簡單的封閉形式，是先取 a 的絕對值的 n 分之一次方，再於 a 為負且 n 為奇數時還原原本的符號。例如，128 的 7 次方根為 2，因為 2 的 7 次方等於 128;而 負 128 的 7 次方根為 負 2，因為 負 2 的 7 次方等於 負 128。諸如 2 或 7 之類的無理被開方數，會產生像 1.41421356237 這類無法終止的小數展開式(以 2 的平方根為例);這些數值無法以任何有限的小數形式精確表示，因此計算機會顯示經四捨五入後的近似值，並透過反向驗證標示其精確度。
根號運算也會出現在單位分析中。取根號會改變一個量的維度指數，因此以平方公尺為單位的面積，其平方根會得到以公尺為單位的長度;而以立方公分為單位的體積，其立方根會得到以公分為單位的長度。單純一個數字無法告訴計算機被開方數代表何種單位，這就是為什麼在使用根號值代入更大型的方程式之前，應務必確認輸入與輸出所帶的單位是否一致。
如何逐步計算一個根號
- 在輸入欄位中輸入有限的被開方數，一般數值可使用一般小數形式，極大或極小的數值則可使用科學記號(例如 1.5e12 或 負 3.2e 負 5)，在可能存在實數結果的情況下亦可包含負值。
- 在次方選擇器中選擇 2 到 100 之間的整數根次方，並檢視頁面所顯示的實數定義域訊息或結果 — 輸入一變更，計算便會立即執行。
- 讀取所顯示的反向次方與相對誤差以確認答案，若所顯示的精確度已符合您的需求，即可使用複製按鈕複製四捨五入後的結果。
每個輸入項目會在您輸入時即時進行驗證。超出 JavaScript Number 有限範圍，或絕對值大於 1e300 的被開方數會遭到拒絕，因為反向指數運算檢查會溢位浮點數表示;落在 2 到 100 整數範圍之外的次方同樣會被拒絕。若您提交帶有偶數次方的負被開方數，頁面會回傳清楚的定義域錯誤，而不會產生誤導的正值結果，也不會回傳 JavaScript 在負數底數搭配分數指數時所會產生的 NaN 值。
實數定義域規則:根號何時存在
實數 n 次方根是否存在，取決於被開方數的正負號，以及次方為偶數或奇數。下表彙整了根號計算機所強制執行的實數定義域行為，且與 OpenStax 代數參考資料的內容一致。
| 被開方數的正負 | 次方的奇偶 | 實數根是否存在? | 結果方向 |
|---|---|---|---|
| 非負 | 2 到 100 之間的任意整數 | 是 | 非負主要值 |
| 負 | 偶數 | 否 | 定義域錯誤(無實數值) |
| 負 | 奇數 | 是 | 負主要值 |
| 零 | 2 到 100 之間的任意整數 | 是 | 恰好為零 |
第三列在實務上最為實用。由於奇數整數次方會保留正負號，將一個負數提升至奇數次方會還原為負的被開方數，因此在奇數 n 的情況下，實數的負根必定存在。另一方面，偶數整數次方必定產生非負結果，這代表負數的偶數次方根根本不存在實數值。若直接要求 JavaScript 計算負數底數搭配分數指數，會回傳 NaN，因此本計算機先計算正向的大小，僅在次方為奇數時才還原為負號，以避開這種執行階段的陷阱。
如何解讀反向驗證與相對誤差
頁面上的每個結果皆搭配一項反向驗證:將所顯示的根提升至所選次方，再與原始被開方數進行比對。頁面會將反向次方作為另一個獨立數值顯示，並以科學記號表示相對誤差。完全次方數的被開方數 — 其主要根為一較小整數的數值，例如 81 的 4 次方根等於 3 — 通常會精確地或以達到雙精度極限的相對誤差還原為原值。諸如 9 的 7 次方根這類無理根，則會顯示一極小但非零的相對誤差，因為二進位浮點數無法精確表示這些數值的小數展開式。此驗證僅為數值一致性的證據，並非符號證明;若您需要精確的代數形式，應改用符號代數系統。
相對誤差是指被開方數與反向次方之間差值的絕對值，再除以被開方數。顯示為 1.4e 負 15 的數值，代表反向驗證與輸入值吻合至大約十五位有效數字，這已接近 IEEE 754 雙精度算術的實際極限。輸入與結果全程皆以雙精度近似值儲存，因此在數字極大、極小，或數值條件不佳的情況下，只要需要精確位數，皆應使用任意精度軟體進行交叉驗證。此一已揭露的限制與 ECMA-262 對 Number 指數運算「為實作近似運算」的描述一致。
輸入限制與工具會拒絕的情況
被開方數必須為有限的 JavaScript Number，且絕對值不得大於 1e300。此一保守的限制，是在大致浮點數範圍內為反向指數驗證預留空間，同時仍涵蓋一般的科學、工程與教學範例。次方必須為 2 到 100 之間(含)的整數;值 1 會被排除，因為第 1 次方根只會直接回傳輸入值;而零、負數、分數、空值，以及過大的次方皆會遭到拒絕，並顯示清楚的錯誤訊息。顯示格式採用十二位有效數字，並移除尾隨的零，因此 2 的平方根會顯示為 1.41421356237，而不會暴露出冗長的實作尾數;在數值極大或極小時則會以科學記號顯示，但反向驗證所使用的底層雙精度數值並不會改變。所有運算與複製作業皆在您的瀏覽器本機進行 — 無需帳號、不會為了運算而發出網路請求，也不會儲存任何輸入或結果的歷史紀錄。
範例演練:負 8 的立方根
假設您想要求負 8 的立方根。您輸入被開方數 負 8，選擇次方 3，頁面便會回傳 負 2。反向驗證會將 負 2 提升至 3 次方，並回報 負 2 的 3 次方等於 負 8，相對誤差為 0，因為此結果在二進位浮點數中能精確表示。相對地，輸入被開方數 負 16 並選擇次方 4，則會產生定義域錯誤，而不是誤導的正值，因為沒有任何實數提升至偶數整數次方後會等於負數。這組對比便足以說明偶數次方與奇數次方在實數定義域上的規則，並說明為什麼本計算機拒絕捏造答案。
何時改用其他計算機更為合適
根號計算機僅會回傳一個近似的實數主要根。它不會列出方程式的所有解、不會計算複數根、不會以符號方式化簡根號、不會分解完全次方、不會有理化分母，也不會保留精確的分數形式。若需要上述輸出結果，請使用電腦代數系統。若需重複進行立方根運算，聚焦於單一功能的 立方根計算機 頁面提供以瀏覽器專屬立方根行為為核心的單一輸入作業流程，使用上可能更為迅速。若需透過符號運算驗證某個根是否正確，CAS 或人工推導才是合適的工具。經四捨五入的數值輸出，亦不應作為安全關鍵工程、財務結算、密碼學，或科學發表的唯一依據 — 請於運算前後確認單位，並在需要精確位數時，以任意精度軟體重現整個運算過程。
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