用 (1/3)πr²h 公式算出圓錐體積

圓錐體積的計算方式是 V = (1/3)πr²h，其中 r 是底面半徑，h 是從底面中心垂直往上量到頂點的高度。要計算任何一個圓錐的體積——不論是為冰淇淋杯、鹽堆、漏斗，還是尖頂混凝土橋墩定尺寸——只要把這兩個數值輸入圓錐體積計算機，答案就會在你打完的那一刻出現。這個計算機會直接回傳 (1/3)πr²h 的結果，沒有取整技巧，也沒有單位換算，所以你看到的數字，正是用你輸入的值代入公式算出來的結果。它也會在體積旁邊，同時顯示底面積、斜高，以及側面積，讓你能一次驗證這個形狀的不只一個部分。一切都在你的瀏覽器本機執行，所以結果是即時的，也留在你的裝置上——沒有任何內容會被上傳到伺服器。

圓錐體積公式，以及為什麼那個 1/3 是精確值

圓錐的體積是 V = (1/3)πr²h。可以這樣理解：先算出圓形底面的面積（πr²），乘上高，再除以三。這個「三分之一」並不是一個近似值——它是一個對每一個圓錐都成立的精確幾何事實，不論這個圓錐是高、矮、窄，還是寬。

它恰好是三分之一的原因，來自圓錐如何座落在一個圓柱體內部。想像一個圓柱體，跟你的圓錐共用同樣的底面半徑 r 與同樣的高 h。那個圓柱體的容積是 πr²h（底面積乘以高）。圓錐一開始在底部有著同樣完整的圓，接著沿著高度線性收窄到頂端的單一一點，所以它在整個高度上的平均圓形截面，恰好是圓柱體底面的三分之一。這個 3 比 1 的比例，直接源自於把從底部到頂點不斷縮小的圓形切片積分起來，這也是為什麼三個一模一樣的圓錐，恰好能填滿一個相配的圓柱體，不多不少。

人們常搞混的三種量測：半徑、高，與斜高

一個圓錐有三種長度，看起來都彼此相關，卻各自扮演不同的角色，而把它們搞混，正是算出錯誤答案的頭號原因。下表把它們釐清了。

量測項目	符號	它是什麼	用途
底面半徑	r	圓形底面直徑的一半	體積 V = (1/3)πr²h 與底面積 πr²
垂直高度	h	從底面中心到頂點的直線距離	體積 V = (1/3)πr²h
斜高	l	沿著側邊、從邊緣到頂點的傾斜距離	側面積 πrl 與展開圖版型

計算體積時你需要的是垂直高度 h；它是從頂點垂直落下到底面的距離，而不是側邊的長度。斜高 l 一定比 h 長，因為它沿著圓錐表面的斜坡走，而不是穿過內部。這兩者透過畢氏定理連結在一起，成立於由 r、h、l 構成的直角三角形上：l = √(r² + h²)。正是因為這個關係，這個計算機才能在你輸入 r 與 h 的那一刻，立刻顯示出 l。

如何用這個計算機計算圓錐體積

用圓錐體積計算機計算圓錐體積，是一個三步驟的任務，你甚至還沒打完字，它就已經算完了。

在第一個欄位輸入底面半徑（r），用任何你喜歡的單位都可以。這是圓形底面直徑的一半。
在第二個欄位輸入高度（h）——是從底面到頂點的垂直高度，而不是沿著傾斜側邊的斜高。
立即在下方讀取圓錐體積；這個計算機還會同時顯示底面積、斜高，以及側面積，讓你能一次驗證這個形狀的每一個部分。

如果你發現你手上真正的形狀，其實是一個被切掉頂端的圓錐——例如一個飲料杯、一個截斷的漏斗，或任何其他圓錐台——請參閱圓錐台體積逐步指南，裡面有處理這種截斷形狀所需的修改後公式。

實例演練：r = 5，h = 12

假設你有一個圓錐，底面半徑 r = 5，垂直高度 h = 12。以下就是這個計算機得出體積的確切逐步過程。

從公式開始：V = (1/3)πr²h。代入數字：V = (1/3) · π · 5² · 12。先算半徑的平方：5² = 25。所以 V = (1/3) · π · 25 · 12。把 25 乘以 12 得到 300，再除以 3 得到 100。所以 V = 100π。換算成小數形式，大約是 314.16 立方單位。過程中的底面積是 π · 5² = 25π ≈ 78.54 平方單位，斜高則是 √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13。這三個數值——體積、底面積、斜高——會在你輸入 5 與 12 的那一刻，同時出現在這個計算機裡。

單位、限制，以及如何解讀輸出結果

這個計算機不預設任何單位。它不會做任何轉換，這代表不管你為 r 與 h 選了哪個長度單位，輸出的體積都會是那同一個單位的立方。用公分輸入 r 與 h，結果就會是 cm³；用公尺輸入，就會得到 m³；用英吋輸入，就會得到立方英吋。唯一的規則，是讓 r 與 h 使用同一個單位——混用公尺與英吋，會產生一個沒有人能解讀的無意義數字。

半徑與高度都是長度，所以它們可以是零或正值，但絕不能是負值。如果任一個輸入值是零，這個圓錐就會塌陷——如果 r = 0，就塌成一個點；如果 h = 0，就塌成一個扁平的圓盤——而體積恰好是 0。在這種情況下，這個計算機會顯示 0，而不是丟出一個錯誤，這對這個退化形狀來說才是正確答案。負數輸入不會被當成有意義的長度接受，所以不要輸入負數。

圓錐體積在現實世界中會出現在哪裡

圓錐形的容器與堆積物很常見，常見到這個公式的應用遠遠超出教室之外。以下是一份簡短清單，列出你可能會想計算圓錐體積的場合：

散裝材料的圓錐形堆——從溜槽倒出來的沙子、鹽、穀物，或碎石，會形成一個大致呈圓錐形的堆，它的體積能告訴你地上到底有多少材料。
漏斗與儲料斗——穀倉或工業料斗底部的那個圓錐，需要用體積來定尺寸，以了解光是這個圓錐部分能裝多少東西。
冰淇淋甜筒與紙杯——一個尖底杯子的容量，就是從側邊與內容物交會的裝填線算下去的圓錐體積。
尖頂橋墩與混凝土基腳——當一根結構橋墩收窄成一個尖點時，混凝土澆置量就是用同一個 (1/3)πr²h 公式來定尺寸的。
幾何、物理，與微積分問題——圓錐是用來教授以積分求體積時，最典型的旋轉體範例之一。

圓錐體積 vs. 圓柱體積：三分之一的關係

記住圓錐公式最乾淨的方式，就是靠它與圓柱體之間的關聯。一個底面半徑同樣是 r、高同樣是 h 的圓柱體，容積是 πr²h；與它相配的圓錐，容積恰好是它的三分之一。這個關係是精確的，不是近似值。

立體	體積公式	與圓錐的關係
圓錐	V = (1/3)πr²h	是同樣 r 與 h 的圓柱體的三分之一
圓柱體	V = πr²h	是相配圓錐體積的三倍
三個一模一樣的圓錐	3 · (1/3)πr²h = πr²h	恰好填滿一個相配的圓柱體

如果你已經知道圓柱體的體積，乘以三分之一就能得到圓錐的體積；如果你已經知道圓錐的體積，乘以三就能得到圓柱體的體積。圓錐體積計算機直接給你圓錐的答案，之後你可以從那個結果按比例換算出任何相配的圓柱體，不必重新做一遍算術。

延伸閱讀：如何逐步計算立方體體積。