A4 放大到 A3 的百分比是 141%，這個精確的數字來自於 2 的平方根（約 1.4142），它是任何兩個相鄰 A 系列紙張邊長之間的固定比例。當你將影印機或印表機的縮放設定為 141%，A4 原稿的每個邊長都會乘以 √2，產生一份比例相同的 A3 影印件。A3 正好是兩張 A4 並排，因此每條邊的長度會增加 √2，而面積則變為兩倍。反向的縮小——A3 縮到 A4——則使用其倒數 1/√2 ≈ 0.7071，影印機會四捨五入為 71%。同一組數字也適用於 A 系列中每一組相鄰尺寸的縮放：A5 到 A4、A4 到 A3、A3 到 A2 全部以 141% 放大，而對應的縮小則全部使用 71%。這就是為什麼這兩個數值會作為預設按鈕，出現在幾乎每一部辦公室影印機上。如果跳過一個尺寸，倍率會平方為 200%（例如 A5 到 A3），或其倒數 50%（A4 到 A6），因為 √2 × √2 = 2，而 1/2 則是對應的縮小比例。這一切之所以如此乾淨俐落，是因為每張 A 系列紙張都共享 1:√2 的長寬比，以及定義每個連續尺寸的對半規則。
141% 這個數字：A4 放大到 A3 真正的意義
影印機或印表機上的百分比是線性縮放——它縮放的是邊長，而非面積。將縮放設為 141%，意味著頁面上的每條線都變成原來的 141% 長。對於一張 A4 原稿來說，這會把 210 mm 的短邊變成 210 × 1.4142 ≈ 297 mm，並把 297 mm 的長邊變成 297 × 1.4142 ≈ 420 mm。這正好就是 A3 的兩條邊長。由於兩個邊長都以完全相同的倍率成長，原稿的比例得以保留——影印件不會被拉長，只是均勻地變大。
141% 是「正確」的數字而非近似值，是因為 A3 在定義上就是由 A4 所構成。ISO 216 規範 A 系列的方式，是使每個尺寸都是前一尺寸沿長邊對半裁切而成。將一張 A3 沿長邊對半裁切會得到兩張 A4；將一張 A4 沿長邊對半裁切會得到兩張 A5。反過來，則是將兩張 A4 沿短邊接合，形成一張 A3。這樣產生的紙張面積正好是 A4 的兩倍。當面積加倍但形狀不變時，每條邊必定增加 √2，而 √2 × 100 = 141.4213…%。
四捨五入到最接近的整數，就是 141%。有些影印機可以接受小數點後一位的百分比，讓你輸入 141.4%；大多數則只提供夠日常影印使用的 141% 預設值。無論如何，這個數字背後的數學都是一樣的。
為何 √2 決定了所有 A 系列的放大與縮小
2 的平方根之所以出現在 A 系列中，是因為每個尺寸都是具有相同 1:√2 長寬比的相似矩形。一張 A4 紙為 210 × 297 mm，而 297 ÷ 210 = 1.4142 ≈ √2。A3 為 297 × 420 mm，而 420 ÷ 297 = 1.4142 ≈ √2。其他 A 系列尺寸也都具有相同的比例。正是這項設計選擇，讓 141% 和 71% 成為整個系列通用的數值。
對半規則源自這個長寬比。如果你將一張 A4 平行於短邊對半裁切，會得到兩張各為 210 × 148.5 mm 的矩形——而 148.5 ÷ 210 = 0.7071 ≈ 1/√2。每半張都是與原稿比例相同的 A5。以同樣方式對半裁切 A3 會得到兩張 A4。對半裁切 A2 則會得到兩張 A3。在每一個情況下，新紙張的面積正好減半，而每條邊則縮短 √2 倍。
這也是為什麼 A 系列成為一個廣泛使用的紙張系統，使得同一個百分比能適用於任何兩個相鄰尺寸之間的所有縮放作業。美國的 Letter 和 Legal 尺寸並不共享單一的長寬比，Tabloid 也是。A 對 A 以及 B 對 B 的縮放永遠會化為一個乾淨的百分比；混合形狀的縮放則不然。
跳過尺寸時：141%、71%、200% 和 50% 如何相互關聯
由於 A 系列每一步的邊長變化為 √2，跳過一步會讓倍率平方。任何辦公室影印機上最實用的固定百分比都直接來自這條規則：
| 來源 → 目標 | 縮放 % | 邊長倍率 |
|---|---|---|
| A4 → A3（向上一步） | 141% | √2 |
| A3 → A4（向下一步） | 71% | 1/√2 |
| A5 → A3（向上兩步） | 200% | √2 × √2 = 2 |
| A4 → A6（向下兩步） | 50% | 1/2 |
| A6 → A4（向上兩步） | 200% | 2 |
| A3 → A5（向下兩步） | 50% | 1/2 |
141% 和 71% 是精確的倒數關係：先用 141% 放大，再用 71% 縮小，就會回到原點。200% 和 50% 同樣互為倒數。向上三步是 √2 × √2 × √2 = 2√2 ≈ 2.828，也就是 283%；向下三步是 1 / 2√2 ≈ 35%。這也是同一組四個「適用於 B 系列」的縮放數值，因為 B 系列紙張也共享相同的 1:√2 長寬比。
實際上，這意味著一台只有 71%、100%、141%、200% 四個預設按鈕的影印機，就能處理幾乎所有辦公室的縮放工作，無需反覆嘗試。如需一覽所有標準配對的完整對照表，請參閱A4 放大到 A3 百分比對照表指南。若是超出這四種情況，或是非相鄰且超過兩步的跳接，則可使用像紙張放大百分比計算機這類工具，得出該輸入的精確百分比。
在影印機或印表機上使用 141% 設定
將 A4 原稿放大以填滿一張 A3 紙張的最快方法是：
- 將 A4 原稿面朝下放在影印機玻璃面上，或透過送紙器送入。
- 開啟紙張放大百分比計算機，確認 A4 → A3 會回傳 141%，或直接在機器上選取 141% 預設值。
- 在影印機上，將縮放或「縮小/放大」設定為 141%。
- 將 A3 紙張裝入正確的紙匣，並確認紙張尺寸選擇與設定一致。
- 按下開始。輸出就是一張比例與 A4 原稿相同的乾淨 A3 影印件。
同樣的五個步驟反向操作，即可以 71% 進行 A3 → A4 的縮小。如果機器提供自動紙張選擇功能，將其保持開啟並不會改變百分比——它只會挑選與縮放比例相符的紙匣。你所輸入的百分比決定影像的大小，紙匣則決定該影像要列印到哪裡。
若是像 A5 → A3 這種非相鄰的跳接，則改輸入 200%。機器會輸出一張 A3 大小、面積正好是 A5 原稿四倍的影印件。
當單一縮放無法同時符合兩條邊時
單一縮放百分比只有在來源紙張與目標紙張具有相同長寬比時才能乾淨地運作。A4 與 A3 同樣共享 1:√2 的比例，因此 141%（或 71%）可以讓兩條邊都剛好對齊，不會裁切或留白。A3 與 A2、A4 與 A5，以及任何 B 對 B 的配對也是如此。
一旦形狀不同，就沒有任何單一縮放能同時符合兩條邊。最常見的情況發生在 A 系列與美規尺寸之間：
| 來源 → 目標 | 長寬比是否相符 | 縮放的表現方式 |
|---|---|---|
| A4 → A3（以及任何 A→A 或 B→B 的配對） | 是——同為 1:√2 比例 | 單一縮放可同時精準符合兩條邊。 |
| A4 → 美規 Letter | 否——比例不同 | 以最大容納方式縮放時，會在一條邊上留下白邊。 |
| 美規 Letter → Legal | 寬度相同，長度不同 | 以寬度為基準縮放時，上下會留下白邊。 |
當你向紙張放大百分比計算機查詢一組混合形狀的配對時，它會回傳仍能將整個來源頁面容納於目標紙張中的最大縮放。縮放後較短的那條邊決定了最終結果的限制；另一條邊則會留下白邊。對於 A4 到美規 Letter 來說，頁面無法在單一設定下同時填滿 Letter 的寬度與高度，因此會在其中一對邊上出現一條白帶。
非標準紙張的自訂尺寸
相同的邏輯適用於任何你能測量的一對邊長。將計算機切換至自訂尺寸模式，輸入你目前擁有的邊長以及希望它變成的邊長，兩者使用相同的單位。工具會回傳「目標 ÷ 原始 × 100」。
一個計算範例：將 210 mm 的邊長變為 297 mm——與 A4 到 A3 相同——得到 297 ÷ 210 × 100 = 141.42…，四捨五入為 141%。這與影印機在標準 A4 → A3 跳接時所套用的百分比相同，因此這個公式能重現預設值。
對於非相鄰的自訂尺寸，只要兩條邊使用相同單位，工具會自動處理單位對應。無論是來源或目標不在標準清單上——海報、相片、掃描的藝術品、工程圖樣，或裁切成非標準尺寸的紙張——隨時都能使用。其計算過程就是一次除法和一次乘法，結果就是要輸入機器的縮放比例。
延伸閱讀：在 Excel 中計算比例：從 GCD 到百分比。