24 遊戲是一道數學謎題：給定四個整數與四則基本運算，找出一個恰好等於 24 的算式。搜尋「24 遊戲解法」會得到一些可運算的算式，這些算式會把每個數字各用一次，並結合加、減、乘、除和括號，但不做數字拼接、次方、階乘、根號，也不重複使用數字。24 Game Solver 嚴格遵守這套規則。它接受 1 到 99 之間的四個整數，以精確的分數（而非二進位浮點數）窮舉所有合法的配對與分組方式，並列出最多 50 個等於 24 的算式。若頁面回報沒有結果，代表徹底搜尋已涵蓋所有允許的組合卻一無所獲，這是真正的分類結果，而非工具提早放棄的跡象。這四個數字從不離開瀏覽器，因此無論是課堂練習、解題訓練或競技對決，都能自由地測試每一手牌，完全不需要帳號或上傳。
24 遊戲解法必須遵守的規則
標準的 24 遊戲謎題，根據 加州大學聖克魯茲分校數學計畫的記載，玩家須拿四個數字，並用加、減、乘、除和括號把它們結合起來，使算式恰好等於 24。四個數字各必須使用一次且僅使用一次。除此之外不加入任何東西：不拼接數字、不使用次方、不使用階乘、不使用根號、不把單目負號視為獨立運算，也不重複使用任何數字。
24 Game Solver 不打折扣地遵守這份契約。頁面接受 1 到 99 之間的四個整數，僅套用四則基本運算，並要求每個中間值同樣必須由這些運算合法構成。這套規則比部分課堂變體更嚴格，而且這是刻意為之。正因為規則更嚴格，「無解」才會是一個有意義的裁定：若搜尋回報空白，便代表在文件記載的規則下，沒有任何組合能得出 24。
商業版本有時會放寬或收緊數字範圍；有些紙牌組從 1 到 10 抽牌，有些則從 1 到 13。本求解器刻意接受更廣的 1 到 99 範圍，以涵蓋教科書與線上謎題變體，同時仍維持標準的運算契約。
| 規則要素 | 標準 24 遊戲（依 UC Santa Cruz） | 24 Game Solver 接受 | 本求解器以外 |
|---|---|---|---|
| 每手數字數 | 4 | 4 | 其他數量 |
| 每個數字的使用 | 恰好一次 | 恰好一次 | 重複或略過 |
| 允許的運算 | +, −, ×, ÷ | +, −, ×, ÷ | 次方、階乘、根號 |
| 括號 | 允許 | 允許 | — |
| 數字拼接 | 不允許 | 不允許 | 拼接後的數字 |
| 單目負號作為獨立運算 | 不允許 | 不允許 | 將 −x 視為免費步驟 |
| 數字範圍 | 依版本而異 | 1–99 | 0、負數、小數 |
如何輸入一手牌並讀取結果列表
- 在瀏覽器中開啟 24 Game Solver。
- 每個欄位各輸入一個整數，總共輸入四個整數。每個數字必須介於 1 到 99 之間。不可留白、不可為零、不可為負數、不可為小數。
- 選擇 Solve。求解器會窮舉搜尋所有允許的分組與運算，然後回傳結果列表。
- 由最內層的括號向外讀取每個回傳的算式。每個算式都以「= 24」結尾，因此可直接驗算候選解，而不必把它視為不透明的「成功」訊息。
- 若頁面回報無解，請將此視為顯示規則下的最終裁定：徹底搜尋後未發現任何等於 24 的有效算式。
在課堂或解題練習時，可先在按下 Solve 之前自行嘗試一手牌，再與回傳的列表對照。括號至關重要：它揭示運算順序，不可隨意移除。允許次方、階乘或重複數字的謎題是另一道題目，可能會有這個刻意受限的求解器不會顯示的解答。
為何分數運算是正確與遺漏之間的差別
有幾個廣為人知的 24 遊戲牌組只能靠分數形式的中間值才解得出來。3, 3, 8, 8 就是經典例子：已知有一種標準解法會在最後的外部減法與除法收束之前，使用 8/3 作為中間值，因此任何只測試由左至右整數組合的求解器，都會把 3, 3, 8, 8 誤判為無解，雖然在標準規則下其實是可解的。
24 Game Solver 透過將每個中間結果儲存為最簡分數來避開這種錯誤：以整數分子搭配正整數分母，且兩者皆維持在 JavaScript 安全整數範圍內。每一步，求解器會以分子與分母的最大公因數進行約分，再以「分子 = 24 × 分母」來檢查最終值。這帶來兩個結果：第一，僅僅「接近」24 的值——例如 23.9999999——永遠不會被視為恰好等於，因為等式檢查是精確的。第二，仰賴無限循環小數中間值的有效解法，也不會因捨入誤差而流失，因為分數會以符號形式保留到最後一次比較。
搜尋如何窮舉每種配對與分組
遞迴程序從池中的四個輸入數字開始。它從池中選取每個無序配對，分別以加法與乘法、兩種順序的減法，以及兩種順序的非零除法將兩個被選數字結合，再把每個結果與未選中的數字一併放回池中。同樣的程序以三個數字重複進行，再以兩個數字進行。當池中只剩一個項時，便將該項與 24 進行比對。
配對與括號結構會一併窮舉，這就是為何需要巢狀括號的牌組（例如 3, 3, 8, 8）也能被找到。算式以字串形式儲存，括號會保留下來；最終列表會去除重複，先依長度、再依地區排序，最多保留 50 筆結果以維持頁面可讀性。這個上限並不會改變可解性，只是避免某一手牌因等價形式過多而把畫面塞滿。
驗證求解器規則確實有效的測試牌組
有幾手牌可作為求解器的基準測試，並已與 4nums 24 Game 求解器在相同規則下獨立交叉驗證：
- 1, 2, 3, 4 — 必須有解。把四個數字全部相乘的簡單構造，可驗證基本的乘法路徑。
- 3, 3, 8, 8 — 必須有解。標準解法需要一個分數形式的中間值，這會測試分數處理路徑。
- 1, 5, 5, 5 — 必須有解。其分數形式的中間值會以不同的型態再次測試分數路徑。
- 1, 5, 11, 13 — 必須保持無解。在標準的四則運算規則下，這手牌沒有任何等於 24 的有效算式。
當兩個分類結果一致時，該手牌在標準 24 遊戲規則下的裁定即告確立。
當「無解」才是真正的答案
無解結果並非搜尋失敗。求解器會對四個輸入數字窮舉列舉所有允許的運算與分組，因此「無解」裁定代表在顯示的規則下，該手牌確實無法得出 24。作為對照，1, 5, 11, 13 在標準 24 遊戲規則下是知名的無解牌組，而 1, 5, 5, 5 則可解。
在採信此裁定之前，可做兩項實務檢查：
- 確認四個數字已正確抄寫。單一數字的筆誤就可能改變裁定。
- 確認來源謎題採用相同的運算規則。允許次方、階乘、重複數字或拼接的變體是另一道題目；由於這超出文件記載的契約範圍，求解器會刻意對其回報無結果。
求解器所強制實施的實務限制
頁面將輸入上限設為 99，並要求正整數，因此中間乘積永遠不會逼近 JavaScript 的不安全整數範圍。結果列表上限為 50 個算式，因此即使某手牌有大量等價形式，回傳的頁面仍然易讀。不需要登入，沒有使用次數限制，四個數字也只留在瀏覽器中：不會上傳、不會儲存、不會綁定帳號。
求解器不會產生隨機謎題、不會評定難度、不會教學保證最短的構造，也不會驗證玩家已經輸入的算式。它只專注回答一個問題：對於玩家提供的這四個數字，在標準規則下能否得出 24，以及哪些算式可以展示這個答案。
如需更深入的說明，請參閱 24 Game Solver：對任意四個數字的徹底搜尋。
如需更深入的說明，請參閱 如何在瀏覽器中計算日常數學。