經濟訂購量公式為 Q* = √(2DS/H),其中 D 為年需求量(單位數),S 為每次訂購的固定成本,H 為每單位的年持有成本。當題目要求「依下列資料計算 EOQ」時,題目會提供這三個數值,要求你代入公式、計算平方根,然後報告能讓年相關成本最小的訂購量。此結果即為每次補貨時應訂購的單位數,前提是需求量、訂購成本與持有成本皆為已知且固定。將同樣的數字代入 EOQ 計算機,即可核對公式步驟,包括每年的成本組成與隨之而來的訂購頻率。
解讀 EOQ 題目中的變數
每一題「依下列資料計算 EOQ」都把同樣的三個輸入藏在文字題中。從題意中找出它們就完成了一半的工作,因為封閉式公式只能接受三個數字,而且這三個數字必須共用同一個年度基礎。需求是以年為單位的單位數、訂購成本是每次訂購的貨幣金額、持有成本是每單位每年的貨幣金額。如果題目給的是月需求,乘以 12 即可得到 D。如果給的是月成本,則除以 12 以維持基礎一致。
| 符號 | 名稱 | 單位 | 在題目中的出現位置 |
|---|---|---|---|
| D | 年需求量 | 單位數 / 年 | 「去年售出 1,200 單位」、「每月使用 60 單位」、「年使用量」 |
| S | 每次訂購的固定成本 | 貨幣金額 / 訂單 | 「設置成本」、「每次訂購的行政成本」、「運費 + 訂單文件處理成本」 |
| H | 每單位每年的持有成本 | 貨幣金額 / 單位 / 年 | 「每單位 $1.20 的持有成本」、「每單位每年的倉儲成本」 |
如果持有成本是以單價的百分比形式給出,請先將其轉換為每單位每年的貨幣金額後再代入。計算機不會自行推斷貨幣單位,也不會執行該轉換。輸出成本會使用所輸入的一致貨幣,因此 S 與 H 必須使用同一個貨幣符號。
依下列資料求解 EOQ
一旦 D、S 與 H 採用相同的年度基礎,不論手算或使用工具,計算方式都相同。平方根形式是將年相關成本函數 TC(Q) = DS/Q + HQ/2 最小化的封閉式解。第一項會隨 Q 增大而下降,因為訂單次數減少;第二項則會上升,因為平均週期庫存為 Q/2。將導數設為零並整理後,即可得到平方根公式 Q* = √(2DS/H)。在此最佳點,兩個變動成本項達到平衡。
- 列出 D、S 與 H 及其單位。例如:D = 1,200 單位 / 年,S = $5 / 訂單,H = $1.20 / 單位 / 年。
- 計算分子 2 × D × S。以範例數值為例:2 × 1,200 × 5 = 12,000。
- 除以 H 得到平方根內的值:12,000 / 1.2 = 10,000。
- 取平方根得到 Q*:√10,000 = 100 單位 / 訂單。
- 計算輔助指標:每年訂單數 = D / Q* = 1,200 / 100 = 12 訂單 / 年;週期長度 = 365 × Q* / D ≈ 30.4 天 / 訂單。
- 計算成本組成:年訂購成本 = DS / Q* = 1,200 × 5 / 100 = $60;年持有成本 = HQ* / 2 = 1.2 × 100 / 2 = $60;總相關成本 = $60 + $60 = $120。
- 確認成本平衡:在 EOQ 下,年訂購成本等於年持有成本。若兩數不相等,該數量即非 EOQ。
同樣的六個步驟會在瀏覽器中的 EOQ 計算機中執行,因此你可以一次輸入數值,並在需要時複製輔助指標,以便在答案中呈現成本組成或訂購頻率。計算機會驗證年化的 D、S 與 H 為正值,並拒絕零、負數、非有限值或過大的輸入,因此輸出乾淨即代表輸入在內部是一致的。
解讀輸出:訂單數、週期時間與成本組成
在教科書題目中,EOQ 很少是唯一要求的數字。在最佳點的成本平衡恆等式可從相同的三個輸入衍生出六個相關數值,每一個都可用於不同面向的答案檢核。
| 指標 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 每年訂單數 | D / Q* | 一年中會發出的訂單數 |
| 週期長度 | 365 × Q* / D | 訂單之間的大致天數(假設一年 365 個日曆天) |
| 年訂購成本 | DS / Q* | 在 EOQ 下,每年花費的訂購間接成本 |
| 年持有成本 | HQ* / 2 | 在 EOQ 下,每年花費的持有成本 |
| 總相關成本 | DS/Q* + HQ*/2 | 變動的存貨成本(不含採購價格) |
成本平衡恆等式是最容易的健全性檢查。在連續最佳點,兩個變動成本項在數學上相等,因此若計算機輸出的兩者因四捨五入以外的原因而不同,該數量即非 EOQ。此等式同時也說明了答案為何穩定:相關成本曲線在其最低點附近相當平坦,因此與公式答案相差一、兩個步驟的數量,通常只會稍微昂貴一些。
當基本 EOQ 不適用於題目時
平方根公式 Q* = √(2DS/H) 是針對刻意簡化模型所得到的封閉式解。在採用該數字之前,請先確認題目確實符合該模型。基本 EOQ 假設:需求為已知且固定、訂購成本為已知且固定、持有成本為已知且固定、瞬時且完整的補貨、無缺貨、無安全庫存、無數量折扣、無產能或現金限制,且單位採購價格不會隨 Q 而變。若任一條件不成立,最佳數量可能會明顯改變。
前置時間並非 EOQ 的輸入。公式回答的是「應該訂購多少」,而非「何時該再下單」。再訂購時機是另一個獨立的計算,需根據前置時間內的需求加上任何合理的安全庫存來決定。季節性需求、前置時間不確定、易腐性、過時性、生產補貨、數量折扣或服務水準目標,皆需要採用不同模型或延伸模型 — 例如,一種數量折扣模型,會比較在不同價格區間下含採購價的總成本。
常見限制與敏感度檢查
三個輸入 D、S 與 H 都是估計值,而非常數。預測會改變、倉儲與保險成本會變動、資金成本會波動、供應商條件也會改變。實務上的 EOQ 是一個基準,而不是採購承諾。當這些輸入改變時,請重新計算,並比較各種合理情境,而不是從過時的數字中保留單一精確的 EOQ。敏感度之所以重要,是因為 D、S 與 H 屬於估計值,而非永恆不變的事實。
公式所得到的連續 EOQ 可能出現分數,因為它是數學上的最佳解,而不是真實的訂單。實際訂單可能需要整數單位、整箱、整棧板、最低訂購量或供應商的包裝倍數。當這些限制很大時,盲目取整可能並不適當。請以總成本方程式比較公式結果正下方與正上方的可行整數或包裝倍數數量,並選出在限制下能讓總成本最小者。成本曲線在其最低點附近通常相當平坦,因此離散最佳解通常會接近連續最佳解。
如需逐步引導、將公式與成本組成串接,並將結果延伸至總存貨成本,請參閱相關指南 逐步計算 EOQ 與存貨總成本。上述所用的二次方程式與成本平衡性質,是作業管理參考資料中的基本內容,包括 紐約州立大學新堡茲分校作業管理 EOQ 頁面。