任何實數的絕對值就是它在數線上與零的距離，記作 |x|，永遠是非負數；而一個免費的絕對值計算機在你輸入的瞬間就會回傳該值。輸入 -8，結果面板顯示 8；輸入 8，它仍然顯示 8；輸入 0，它顯示 0。這個轉換沒有意外，因為絕對值只回答「多遠」，從不回答「哪個方向」。這個單一性質——結果為零或正數——就是本指南中每個範例背後的規則，無論輸入是整數、像 -3.14 的小數，或是像 6.02e23 的科學記號數值。計算機完全在你的瀏覽器中執行，會即時接收輸入，並在你編輯時更新 |x|，所以這裡的每個範例都對應到你在欄位中輸入相同數字時所看到的精確讀數。在整篇文章中，我們會逐一走過多個絕對值計算機輸入與輸出的具體範例，接著展示產生它們的簡短規則清單，使你不必動用計算機就能預測任何結果。
如何使用絕對值計算機
使用絕對值計算機只需要三個步驟，無需任何設定。計算機完全在你的瀏覽器中執行，所以在你看到第一個結果之前，不需要建立帳號，也不需要上傳任何檔案。
- 在輸入欄位中輸入任何數字——整數、負數、小數，以及像 1.2e4 的科學記號，全部接受於同一個方塊中。
- 在結果面板中讀取絕對值 |x|；它在你編輯時即時更新，無需按下任何計算按鈕。
- 點擊複製即可將結果放入剪貼簿，以便貼到作業、試算表或程式碼編輯器中。
解題範例：從輸入到 |x|
下表中每一列展示你會在欄位中輸入的內容，以及計算機回傳的絕對值。這組輸入與輸出就是完整的範例——結果面板背後沒有藏著任何其他東西。
| 你輸入的格式 | 計算機如何處理 | 你在結果中讀到的內容 |
|---|---|---|
| 負整數，例如 -8 | 正負號翻為正 | 僅有數字，沒有負號 |
| 正整數，例如 8 | 原樣回傳 | 你輸入的數字 |
| 零，0 | 原樣回傳 | 0 |
| 負小數，例如 -3.14 | 正負號翻轉，數字保留 | 數字的正數版本 |
| 正小數，例如 0.25 | 原樣回傳 | 0.25 |
| 科學記號，例如 1.2e4 | 解析為數字，再套用正負號規則 | 該數字的非負值 |
在絕對值計算機中試試這些輸入中的任何一個，結果面板會在你最後一次編輯後一兩個按鍵的時間內，對應到上表中最右邊那一欄。
每個結果背後的三條規則
上表中的每個範例都來自下列三條規則之一。把它們記起來，你就能在沒有計算機的情況下回答任何絕對值問題；當你想再次確認計算機剛剛給出的結果時，也可以把它們當作檢查清單。
| 情況 | 規則 | 讀法 |
|---|---|---|
| x 為正 | |x| = x | 該數字保留其值。 |
| x 為負 | |x| = -x | 負號被去掉，翻轉為正。 |
| x 為零 | |x| = 0 | 與零的距離為零。 |
正式版本：當 x ≥ 0 時 |x| = x，當 x < 0 時 |x| = -x。一個能藏起情況分析的實用捷徑是 |x| = √(x²)：平方會消除正負號，而主平方根會回傳非負根，因此兩條路徑永遠給出相同的答案。
一個手動解題的範例
挑選任何一個負數，並依規則跑一次。假設輸入是 -12。這個單一範例展示了從輸入到答案的完整過程。
依情況規則。x = -12 為負數，因此套用規則表中的第二列：|x| = -x。
代入。|-12| = -(-12) = 12。
依平方根捷徑。|-12| = √((-12)²) = √(144) = 12。
兩種方法都得到 12，這正是你在輸入 -12 的瞬間計算機所顯示的結果。你也可以用正數輸入驗證此捷徑：|5| = √(5²) = √25 = 5。情況規則與平方根規則每次都吻合，這就是為什麼兩者都會出現在教科書與工程參考資料中。這就是完整的手動解題範例：判斷情況、代入、化簡。若想針對更多輸入進行較長的逐步演練，請參閱逐步教學的如何計算絕對值指南。
看起來令人意外但仍遵循相同規則的範例
有少數輸入感覺像是邊界情況，但它們仍然使用的是完全相同的 |x| = -x 規則。只要看過一次，就再也不會對它們感到困惑。
- -0 與 0：輸入 -0，你會看到 0。在數線上沒有負零，因此它與零的距離仍然是零。
- 一個數字與其相反數共用同一個 |x|：|x| = |-x| 永遠成立。輸入 17 得到 17；輸入 -17 也得到 17。無論你從零的哪一側出發，答案相同、距離相同。
- 非常小的小數：輸入 -0.0001，你會得到 0.0001。規則並不在意小數點與第一個非零數字之間有多少個零。
- 非常大的科學記號：輸入 -6.02e23，你會得到 6.02e23。負號被去掉，而結果保留相同的指數，因為那就是數量級。
計算機接受的輸入
這個欄位相當寬容，因為底層運算完全在你的瀏覽器中執行。任何實數皆可作為輸入，而最常出現的三種格式如下所列。
- 負整數，例如 -5、-42 或 -1000——負號會被去掉。
- 小數，例如 -3.14、0.001 或 7.5——數字保留，正負號會在必要時移除。
- 科學記號，例如 1.2e-4 或 6.02e23——數值會按所寫讀取，再套用絕對值規則。
存在大約 1.8 × 10^308 的硬性上限，這是瀏覽器能儲存的最大有限值。任何超過此範圍的數值都超出電腦能表示的範圍，結果會被標記出來而非悄悄四捨五入，因此你隨時能知道輸入是否超出範圍，而不會得到誤導性的答案。
絕對值在計算機之外出現的地方
你在計算機中看到的同一個 |x| 也出現在數學、科學與日常生活的許多其他地方。在那些地方辨認出這個樣貌，是對計算機所給結果的一種實用健全性檢查。
- 量測誤差：量測值與真實值之間的絕對誤差為 |量測值 − 真實值|。正負號會告訴你是高估還是低估，但誤差的大小就是絕對值。
- 線上的距離：兩點 a 與 b 之間的距離為 |a − b|，而相減的順序永遠不會改變結果。
- 速率與速度：速率是速度的大小，振幅則是訊號的絕對峰值——兩者皆去除方向而僅保留大小。
- 不等式：像 |x − 5| < 2 這樣的式子描述了所有在 5 附近 2 個單位以內的數字，在你親眼見過絕對值符號如何運作之前，這是難以想像的。
- 統計與資料：統計學與資料科學中使用的 L1（曼哈頓）距離與平均絕對誤差，都是以你正在計算的同一個 |x| 為基礎。
當你下次看到一個要求大小而不問方向的問題——誤差範圍、距離、溫度變化、峰值振幅、投資組合波動的大小——你已經擁有產生答案的規則，也擁有一台在你輸入的瞬間就把它化為數字的計算機。
想進一步了解，請參閱如何計算平均速率：公式與範例。